Номер 19.1, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (19.1–19.11):

19.1. 1) $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $; 2) $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $; 3) $ \cos x = \frac{1}{2} $;

4) $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $; 5) $ \cos x = 0 $; 6) $ \cos x = 1 $.

1) Дано уравнение $ \cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $ \cos{x} = a $, где $ |a| \le 1 $, записывается по формуле $ x = \pm\arccos{a} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В нашем случае $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Значение арккосинуса для $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ является табличным: $ \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{6} $. Подставляем это значение в общую формулу и получаем решение: $ x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Дано уравнение $ \cos{x} = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Используем общую формулу для решения уравнений вида $ \cos{x} = a $: $ x = \pm\arccos{a} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В данном уравнении $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Табличное значение арккосинуса: $ \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4} $. Подставляя это значение в формулу, получаем: $ x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Дано уравнение $ \cos{x} = \frac{1}{2} $. Решаем по общей формуле $ x = \pm\arccos{a} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = \frac{1}{2} $. Табличное значение арккосинуса: $ \arccos{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{3} $. Подставляем в формулу и находим решение: $ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4) Дано уравнение $ \cos{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Применяем ту же общую формулу $ x = \pm\arccos{a} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $ \arccos(-a) = \pi - \arccos{a} $. Получаем: $ \arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \pi - \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $. Подставляя это значение в общую формулу, получаем: $ x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

5) Дано уравнение $ \cos{x} = 0 $. Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Косинус равен нулю, когда угол $ x $ равен $ \frac{\pi}{2} $ плюс целое число полуоборотов ($ \pi k $). Таким образом, решение можно записать в виде $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

6) Дано уравнение $ \cos{x} = 1 $. Это еще один частный случай. Косинус равен единице, когда угол $ x $ равен нулю или целому числу полных оборотов ($ 2\pi k $). Решение уравнения: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.