Номер 19.5, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.5.1) $\sin2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\cos3x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin2x = -\frac{1}{2}$;

4) $\text{tg}0{,}5x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

5) $\sin4x = 0$;

6) $\text{ctg}3x = -1$.

1) Дано уравнение $\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Арксинус этого значения является табличным: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k}{2}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.

2) Дано уравнение $\cos(3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $t = 3x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арккосинус этого значения является табличным: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$3x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{3}$

$x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$, $k \in Z$.

3) Дано уравнение $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В данном уравнении $t = 2x$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Находим арксинус: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$, где $k \in Z$.

Используя свойство степеней $(-1)^k \cdot (-1) = (-1)^{k+1}$, можем записать:

$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k}{2}$

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in Z$.

4) Дано уравнение $\operatorname{tg}(0,5x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Общее решение для уравнения $\operatorname{tg}(t) = a$ имеет вид $t = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В данном уравнении $t = 0,5x = \frac{x}{2}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значение $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ не является стандартным табличным значением для тангенса, поэтому арктангенс записывается в общем виде: $\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{2} = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$.

$\frac{x}{2} = -\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot (-\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k)$

$x = -2\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = -2\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, $k \in Z$.

5) Дано уравнение $\sin(4x) = 0$.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения $\sin(t) = 0$ имеет вид $t = \pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $t = 4x$.

Приравниваем аргумент синуса к решению:

$4x = \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi k}{4}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}$, $k \in Z$.

6) Дано уравнение $\operatorname{ctg}(3x) = -1$.

Общее решение для уравнения $\operatorname{ctg}(t) = a$ имеет вид $t = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in Z$.

В данном уравнении $t = 3x$ и $a = -1$.

Находим арккотангенс, это табличное значение: $\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$3x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in Z$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\frac{3\pi}{4} + \pi k}{3}$

$x = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in Z$.