Номер 10, страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Значение выражения $\arccos(\cos4)$ равно:

A) 4;

B) $2\pi+4$;

C) $2\pi-4$;

D) $4-\pi$.

Для нахождения значения выражения $arccos(cos(4))$ необходимо вспомнить определение и свойства функции арккосинус.

По определению, $arccos(a)$ — это такое число (угол) $y$, которое удовлетворяет двум условиям: $cos(y) = a$ и $y \in [0; \pi]$. Отрезок $[0; \pi]$ является областью значений функции арккосинус.

Тождество $arccos(cos(x)) = x$ справедливо только в том случае, когда $x$ принадлежит области значений арккосинуса, то есть $x \in [0; \pi]$.

В нашем случае аргумент у косинуса равен 4 (имеется в виду 4 радиана). Оценим это значение. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $4 > \pi$. Это означает, что число 4 не входит в отрезок $[0; \pi]$, и, следовательно, $arccos(cos(4)) \neq 4$.

Нам необходимо найти такое число $y$, которое принадлежит отрезку $[0; \pi]$ и для которого выполняется равенство $cos(y) = cos(4)$.

Воспользуемся свойствами косинуса. Косинус — четная функция, то есть $cos(-x) = cos(x)$. Также косинус является периодической функцией с периодом $2\pi$, то есть $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$ для любого целого $k$.

Из этих свойств следует, что для любого $x$ справедливо равенство $cos(x) = cos(2\pi - x)$. Проверим это: $cos(2\pi - x) = cos(-(x - 2\pi)) = cos(x - 2\pi) = cos(x)$.

Применим это тождество к нашему выражению: $cos(4) = cos(2\pi - 4)$.

Теперь нужно проверить, принадлежит ли полученное значение $2\pi - 4$ требуемому отрезку $[0; \pi]$.

Оценим $2\pi - 4$, используя $\pi \approx 3.14159$:

$2\pi - 4 \approx 2 \cdot 3.14159 - 4 = 6.28318 - 4 = 2.28318$.

Сравним это значение с границами отрезка $[0; \pi] \approx [0; 3.14159]$:

$0 < 2.28318 < 3.14159$.

Неравенство верное, значит, $2\pi - 4 \in [0; \pi]$.

Мы нашли число $2\pi - 4$, которое принадлежит области значений арккосинуса и косинус которого равен $cos(4)$. Таким образом, по определению арккосинуса:

$arccos(cos(4)) = 2\pi - 4$.

Ответ: $2\pi-4$.