Номер 19.6, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.6.1) $ \sin 2x = 1,2 $;

2) $ \cos 3x = \sqrt{2} $;

3) $ \sin \frac{x}{3} = -\frac{1}{2} $;

4) $ \tan 5x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

5) $ \cos 4x = 0 $;

6) $ \cot(-3x) = -1 $.

1) Дано уравнение $sin(2x) = 1,2$.

Область значений функции синус, $y = \sin(\alpha)$, есть промежуток $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного угла $\alpha$, значение $\sin(\alpha)$ не может быть больше 1 или меньше -1.

В данном уравнении правая часть равна $1,2$, что больше 1. Так как $1,2 > 1$, это значение выходит за пределы области значений функции синус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

2) Дано уравнение $cos(3x) = \sqrt{2}$.

Область значений функции косинус, $y = \cos(\alpha)$, также есть промежуток $[-1; 1]$.

Значение $\sqrt{2}$ приблизительно равно $1,414$. Так как $\sqrt{2} > 1$, это значение выходит за пределы области значений функции косинус.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

3) Дано уравнение $\sin\frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$\frac{x}{3} = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$

$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot ((-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n)$

$x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{6} + 3\pi n$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in Z$.

4) Дано уравнение $tg(5x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $tg(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 5x$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$5x = arctg(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

Используем свойство нечетности арктангенса $arctg(-a) = -arctg(a)$:

$5x = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = -\frac{1}{5}arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -\frac{1}{5}arctg(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.

5) Дано уравнение $cos(4x) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Уравнение $\cos(t) = 0$ имеет решение $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 4x$.

Подставляем в формулу для частного случая:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi}{2 \cdot 4} + \frac{\pi n}{4}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.

6) Дано уравнение $ctg(-3x) = -1$.

Используем свойство нечетности функции котангенс: $ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$.

Уравнение принимает вид: $-ctg(3x) = -1$.

Умножим обе части на -1, получим: $ctg(3x) = 1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ctg(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $t = 3x$ и $a = 1$.

Найдем арккотангенс: $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в общую формулу:

$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi}{4 \cdot 3} + \frac{\pi n}{3}$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.