Номер 19.8, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.8.1) $\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\cos(2 - 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin(3(x + 1)) = \frac{1}{2}$;

4) $\operatorname{tg}(5x - 2) = -\sqrt{3}$;

5) $\sin(4x - 3) = -1$;

6) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3} + 3x\right) = 1$.

1) Решим уравнение $\sin(2x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 2x + \frac{\pi}{6}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставим значения в общую формулу:

$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n$

$2x + \frac{\pi}{6} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n$

Теперь выразим $x$:

$2x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n \right)$

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos(2 - 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, поэтому $\cos(2 - 3x) = \cos(3x - 2)$.

Получаем уравнение $\cos(3x - 2) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение записывается формулой $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 3x - 2$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем арккосинус: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставим значения в общую формулу:

$3x - 2 = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Теперь выразим $x$:

$3x = 2 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{2}{3} \pm \frac{3\pi}{4 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3}$

$x = \frac{2}{3} \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2}{3} \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sin(3(x + 1)) = \frac{1}{2}$.

Раскроем скобки в аргументе: $\sin(3x + 3) = \frac{1}{2}$.

Общее решение для $\sin(t) = a$ есть $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 3x + 3$ и $a = \frac{1}{2}$.

Найдем арксинус: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставим в формулу:

$3x + 3 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$:

$3x = -3 + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{-3}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{6 \cdot 3} + \frac{\pi n}{3}$

$x = -1 + (-1)^n \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -1 + (-1)^n \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\text{tg}(5x - 2) = -\sqrt{3}$.

Общее решение для $\text{tg}(t) = a$ есть $t = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 5x - 2$ и $a = -\sqrt{3}$.

Найдем арктангенс: $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставим в формулу:

$5x - 2 = -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Выразим $x$:

$5x = 2 - \frac{\pi}{3} + \pi n$

$x = \frac{2}{5} - \frac{\pi}{3 \cdot 5} + \frac{\pi n}{5}$

$x = \frac{2}{5} - \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2}{5} - \frac{\pi}{15} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $\sin(4x - 3) = -1$.

Это частный случай уравнения $\sin(t) = a$. Решение для $\sin(t) = -1$ имеет вид $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = 4x - 3$.

Подставляем:

$4x - 3 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Выражаем $x$:

$4x = 3 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{3}{4} - \frac{\pi}{2 \cdot 4} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = \frac{3}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3}{4} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $\text{ctg}(\frac{\pi}{3} + 3x) = 1$.

Общее решение для $\text{ctg}(t) = a$ есть $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{\pi}{3} + 3x$ и $a = 1$.

Найдем арккотангенс: $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим в формулу:

$\frac{\pi}{3} + 3x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$:

$3x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$3x = \frac{3\pi - 4\pi}{12} + \pi n$

$3x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{12 \cdot 3} + \frac{\pi n}{3}$

$x = -\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.