Номер 19.15, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.15. Решите уравнение и запишите корни, принадлежащие указанному интервалу:

1) $$\frac{\cos 7x}{\sin 2x} - 1 = 0$$$, $70^\circ < x < 150^\circ$;

2) $$\frac{\sin 2x}{\cos 3x} - 1 = 0$$$, $0^\circ < x < 180^\circ$;

3) $$\frac{\sin 24x}{\cos 6x} - 1 = 0$$$, $10^\circ < x < 30^\circ$;

4) $$\frac{\cos 3x}{\sin 2x} - 1 = 0$$$, $180^\circ < x < 270^\circ$.

1) Исходное уравнение: $\frac{\cos 7x}{\sin 2x} - 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть: $\frac{\cos 7x}{\sin 2x} = 1$.

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 7x = \sin 2x \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, используя формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:

$\cos 7x = \cos(90^\circ - 2x)$

Равенство косинусов выполняется в двух случаях:

Случай A: $7x = 90^\circ - 2x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$9x = 90^\circ + 360^\circ k$

$x = 10^\circ + 40^\circ k$

Случай Б: $7x = -(90^\circ - 2x) + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$7x = -90^\circ + 2x + 360^\circ k$

$5x = -90^\circ + 360^\circ k$

$x = -18^\circ + 72^\circ k$

Теперь найдем корни, принадлежащие интервалу $70^\circ < x < 150^\circ$, и проверим для них условие $\sin 2x \neq 0$.

Для серии $x = 10^\circ + 40^\circ k$:

$70^\circ < 10^\circ + 40^\circ k < 150^\circ$

$60^\circ < 40^\circ k < 140^\circ$

$1.5 < k < 3.5$

Целые значения $k$: 2, 3.

При $k=2$, $x = 10^\circ + 40^\circ \cdot 2 = 90^\circ$. Проверим знаменатель: $\sin(2 \cdot 90^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$. Этот корень не подходит.

При $k=3$, $x = 10^\circ + 40^\circ \cdot 3 = 130^\circ$. Проверим знаменатель: $\sin(2 \cdot 130^\circ) = \sin(260^\circ) \neq 0$. Этот корень подходит.

Для серии $x = -18^\circ + 72^\circ k$:

$70^\circ < -18^\circ + 72^\circ k < 150^\circ$

$88^\circ < 72^\circ k < 168^\circ$

$\frac{88}{72} < k < \frac{168}{72}$

$1.22... < k < 2.33...$

Целое значение $k$: 2.

При $k=2$, $x = -18^\circ + 72^\circ \cdot 2 = 126^\circ$. Проверим знаменатель: $\sin(2 \cdot 126^\circ) = \sin(252^\circ) \neq 0$. Этот корень подходит.

Ответ: $126^\circ, 130^\circ$.

2) Исходное уравнение: $\frac{\sin 2x}{\cos 3x} - 1 = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin 2x = \cos 3x \\ \cos 3x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение, используя формулу приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:

$\cos(90^\circ - 2x) = \cos 3x$

Равенство косинусов выполняется в двух случаях:

Случай A: $90^\circ - 2x = 3x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$5x = 90^\circ - 360^\circ k$

$x = 18^\circ - 72^\circ k$ (или $x = 18^\circ + 72^\circ k$)

Случай Б: $90^\circ - 2x = -3x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -90^\circ + 360^\circ k$

Найдем корни, принадлежащие интервалу $0^\circ < x < 180^\circ$, и проверим для них условие $\cos 3x \neq 0$. Условие $\cos 3x = 0$ выполняется при $3x = 90^\circ + 180^\circ n$, т.е. $x = 30^\circ + 60^\circ n$.

Для серии $x = 18^\circ + 72^\circ k$:

$0^\circ < 18^\circ + 72^\circ k < 180^\circ$

$-18^\circ < 72^\circ k < 162^\circ$

$-0.25 < k < 2.25$

Целые значения $k$: 0, 1, 2.

При $k=0$, $x = 18^\circ$. Проверим знаменатель: $\cos(3 \cdot 18^\circ) = \cos(54^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

При $k=1$, $x = 18^\circ + 72^\circ = 90^\circ$. Этот корень совпадает с видом $30^\circ + 60^\circ n$ при $n=1$, поэтому $\cos(3 \cdot 90^\circ) = 0$. Корень не подходит.

При $k=2$, $x = 18^\circ + 144^\circ = 162^\circ$. Проверим знаменатель: $\cos(3 \cdot 162^\circ) = \cos(486^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

Для серии $x = -90^\circ + 360^\circ k$ ни при каком целом $k$ корень не попадает в заданный интервал.

Ответ: $18^\circ, 162^\circ$.

3) Исходное уравнение: $\frac{\sin 24x}{\cos 6x} - 1 = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin 24x = \cos 6x \\ \cos 6x \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\cos(90^\circ - 24x) = \cos 6x$.

Случай A: $90^\circ - 24x = 6x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$30x = 90^\circ - 360^\circ k$

$x = 3^\circ - 12^\circ k$ (или $x = 3^\circ + 12^\circ k$)

Случай Б: $90^\circ - 24x = -6x + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$18x = 90^\circ - 360^\circ k$

$x = 5^\circ - 20^\circ k$ (или $x = 5^\circ + 20^\circ k$)

Найдем корни в интервале $10^\circ < x < 30^\circ$. Условие $\cos 6x = 0$ выполняется при $x = 15^\circ + 30^\circ n$.

Для серии $x = 3^\circ + 12^\circ k$:

$10^\circ < 3^\circ + 12^\circ k < 30^\circ$

$7^\circ < 12^\circ k < 27^\circ$

$0.58... < k < 2.25$

Целые значения $k$: 1, 2.

При $k=1$, $x = 3^\circ + 12^\circ = 15^\circ$. При этом значении $\cos(6 \cdot 15^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$. Корень не подходит.

При $k=2$, $x = 3^\circ + 24^\circ = 27^\circ$. $\cos(6 \cdot 27^\circ) = \cos(162^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

Для серии $x = 5^\circ + 20^\circ k$:

$10^\circ < 5^\circ + 20^\circ k < 30^\circ$

$5^\circ < 20^\circ k < 25^\circ$

$0.25 < k < 1.25$

Целое значение $k$: 1.

При $k=1$, $x = 5^\circ + 20^\circ = 25^\circ$. $\cos(6 \cdot 25^\circ) = \cos(150^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

Ответ: $25^\circ, 27^\circ$.

4) Исходное уравнение: $\frac{\cos 3x}{\sin 2x} - 1 = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 3x = \sin 2x \\ \sin 2x \neq 0 \end{cases}$

Решение уравнения $\cos 3x = \sin 2x$ аналогично пункту 2):

$\cos 3x = \cos(90^\circ - 2x)$

Случай A: $3x = 90^\circ - 2x + 360^\circ k \implies 5x = 90^\circ + 360^\circ k \implies x = 18^\circ + 72^\circ k$.

Случай Б: $3x = -(90^\circ - 2x) + 360^\circ k \implies x = -90^\circ + 360^\circ k$.

Найдем корни в интервале $180^\circ < x < 270^\circ$. Условие $\sin 2x \neq 0$ означает, что $x \neq 90^\circ n$.

Для серии $x = 18^\circ + 72^\circ k$:

$180^\circ < 18^\circ + 72^\circ k < 270^\circ$

$162^\circ < 72^\circ k < 252^\circ$

$2.25 < k < 3.5$

Целое значение $k$: 3.

При $k=3$, $x = 18^\circ + 72^\circ \cdot 3 = 18^\circ + 216^\circ = 234^\circ$. Этот корень не является кратным $90^\circ$, поэтому $\sin(2 \cdot 234^\circ) \neq 0$. Корень подходит.

Для серии $x = -90^\circ + 360^\circ k$:

$180^\circ < -90^\circ + 360^\circ k < 270^\circ$

$270^\circ < 360^\circ k < 360^\circ$

$0.75 < k < 1$

Целых значений $k$ в этом диапазоне нет.

Ответ: $234^\circ$.