Номер 19.20, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.20. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{6x - x^2} + \frac{1}{\sin x - \frac{1}{2}};$

2) $y = \sqrt{9x - 14 - x^2} + \frac{1}{\sin x}.$

1) Область определения функции $y = \sqrt{6x - x^2} + \frac{1}{\sin x - \frac{1}{2}}$ находится из системы условий:

$$\begin{cases}6x - x^2 \ge 0, \\\sin x - \frac{1}{2} \ne 0.\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство: $6x - x^2 \ge 0$.

$x(6 - x) \ge 0$.

Корнями соответствующего уравнения $x(6 - x) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Графиком функции $f(x) = 6x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями.

Решением неравенства является промежуток $x \in [0, 6]$.

2. Решим второе условие: $\sin x - \frac{1}{2} \ne 0$, то есть $\sin x \ne \frac{1}{2}$.

Уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$ имеет решения $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения $x$ нужно исключить из области определения.

3. Найдем, какие из исключаемых точек принадлежат отрезку $[0, 6]$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

- при $k=0$: $x = (-1)^0 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6} \approx 0,52$. Так как $0 \le \frac{\pi}{6} \le 6$, это значение исключается.

- при $k=1$: $x = (-1)^1 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \approx 2,62$. Так как $0 \le \frac{5\pi}{6} \le 6$, это значение исключается.

- при $k=2$: $x = (-1)^2 \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 2 = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6,8$. Это значение не принадлежит отрезку $[0, 6]$.

Другие целые значения $k$ также дадут корни за пределами отрезка $[0, 6]$.

Таким образом, из отрезка $[0, 6]$ необходимо исключить точки $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $x \in [0; \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}; 6]$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{9x - 14 - x^2} + \frac{1}{\sin x}$ находится из системы условий:

$$\begin{cases}9x - 14 - x^2 \ge 0, \\\sin x \ne 0.\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство: $9x - 14 - x^2 \ge 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 9x + 14 \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 9x + 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неположительные значения на отрезке между корнями.

Решением неравенства является промежуток $x \in [2, 7]$.

2. Решим второе условие: $\sin x \ne 0$.

Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения $x$ нужно исключить из области определения.

3. Найдем, какие из исключаемых точек принадлежат отрезку $[2, 7]$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

- при $k=1$: $x = \pi \approx 3,14$. Так как $2 \le \pi \le 7$, это значение исключается.

- при $k=2$: $x = 2\pi \approx 6,28$. Так как $2 \le 2\pi \le 7$, это значение исключается.

- при $k=3$: $x = 3\pi \approx 9,42$. Это значение не принадлежит отрезку $[2, 7]$.

При $k \le 0$ значения $x$ также не принадлежат отрезку $[2, 7]$.

Таким образом, из отрезка $[2, 7]$ необходимо исключить точки $\pi$ и $2\pi$.

Ответ: $x \in [2; \pi) \cup (\pi; 2\pi) \cup (2\pi; 7]$.