Задания, страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вы научитесь решать тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному уравнению.

На изображении представлено не конкретное задание, а цель обучения: научиться решать тригонометрические уравнения, которые можно свести к квадратным. Ниже приведено развернутое объяснение этого метода на конкретном примере.

Основная идея заключается в том, чтобы с помощью тригонометрических тождеств привести уравнение к такому виду, чтобы оно содержало только одну тригонометрическую функцию (например, только $\sin x$ или только $\cos x$). Затем эта функция заменяется новой переменной, что приводит к обычному квадратному уравнению.

Рассмотрим решение уравнения $2\cos^2x + 5\sin x - 4 = 0$

1. Первым шагом приводим уравнение к одной тригонометрической функции. В данном уравнении есть и $\cos^2x$, и $\sin x$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - \sin^2x) + 5\sin x - 4 = 0$

2. Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$2 - 2\sin^2x + 5\sin x - 4 = 0$

$-2\sin^2x + 5\sin x - 2 = 0$

Чтобы сделать старший коэффициент положительным, умножим обе части уравнения на $-1$:

$2\sin^2x - 5\sin x + 2 = 0$

3. Теперь уравнение зависит только от $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Важно помнить, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

4. После замены получаем стандартное квадратное уравнение:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

5. Решим это уравнение. Можно использовать формулу корней через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

Корни уравнения для $t$ равны:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

6. Теперь вернемся к ограничению $|t| \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет этому условию, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$.

Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $|2| > 1$. Этот корень является посторонним, и мы его отбрасываем.

7. Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $t_1 = \frac{1}{2}$:

$\sin x = \frac{1}{2}$

8. Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общая формула для решений уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Поскольку $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем окончательное решение.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.