Номер 19.16, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.16. Найдите число корней уравнения графическим способом:

1) $ \cos(2x - 1) = x^2 - 2x + 5; $

2) $ \cos(2x + 1) = 3 - x^2 - 3x; $

3) $ \sin(x + 2) = 3 - x^2 - 2x; $

2) $ \text{tg}(x + 2) = 3 - 2x. $

1) Чтобы найти число корней уравнения $cos(2x - 1) = x^2 - 2x + 5$ графическим способом, необходимо найти количество точек пересечения графиков функций $y = cos(2x - 1)$ и $y = x^2 - 2x + 5$.

Для этого проанализируем области значений этих функций.

1. Функция $y = cos(2x - 1)$. Область значений косинуса — это отрезок от -1 до 1, то есть $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = x^2 - 2x + 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы, чтобы определить её наименьшее значение.

Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$.

Ордината вершины: $y_0 = y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y = x^2 - 2x + 5$ равно 4, а её область значений $E(y) = [4; +\infty)$.

Сравнивая области значений двух функций, видим, что они не пересекаются: $E(cos(2x-1)) \cap E(x^2-2x+5) = [-1; 1] \cap [4; +\infty) = \emptyset$.

Это означает, что графики данных функций не имеют ни одной общей точки.

Ответ: 0.

2) Рассмотрим уравнение $cos(2x + 1) = 3 - x^2 - 3x$. Построим в одной системе координат графики функций $y = cos(2x + 1)$ и $y = -x^2 - 3x + 3$.

1. Область значений функции $y = cos(2x + 1)$ — это отрезок $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = -x^2 - 3x + 3$ — парабола с ветвями, направленными вниз. Координаты её вершины:

$x_0 = -(-3) / (2 \cdot (-1)) = -1.5$.

$y_0 = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) + 3 = -2.25 + 4.5 + 3 = 5.25$.

Область значений параболы: $E(y) = (-\infty; 5.25]$.

Области значений функций пересекаются по отрезку $[-1; 1]$, следовательно, у уравнения могут быть корни. Графики могут пересечься только в тех точках, где значения параболы лежат в отрезке $[-1; 1]$.

Найдем, при каких $x$ выполняется неравенство $-1 \le -x^2 - 3x + 3 \le 1$.

Решая систему неравенств, получаем, что значения параболы находятся в "полосе" $y \in [-1; 1]$ при $x \in [-4; \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}; 1]$.

Приблизительные значения границ: $\frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \approx -3.56$ и $\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0.56$.

Получаем два интервала для $x$: $[-4; -3.56]$ и $[0.56; 1]$.

На первом интервале $[-4; -3.56]$ парабола возрастает от -1 до 1. График косинуса также проходит через эту область. Анализ значений на концах интервала показывает, что на этом отрезке есть одна точка пересечения.

На втором интервале $[0.56; 1]$ парабола убывает от 1 до -1. Анализ значений на концах этого интервала также показывает наличие одной точки пересечения.

Итого, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.

3) Рассмотрим уравнение $sin(x + 2) = 3 - x^2 - 2x$. Построим графики функций $y = sin(x + 2)$ и $y = -x^2 - 2x + 3$.

1. Область значений функции $y = sin(x + 2)$ — это отрезок $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = -x^2 - 2x + 3$ — парабола с ветвями вниз. Координаты её вершины:

$x_0 = -(-2) / (2 \cdot (-1)) = -1$.

$y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Область значений параболы: $E(y) = (-\infty; 4]$.

Области значений функций пересекаются по отрезку $[-1; 1]$. Корни могут существовать только для тех $x$, для которых значения параболы лежат в отрезке $[-1; 1]$.

Решая двойное неравенство $-1 \le -x^2 - 2x + 3 \le 1$, получаем, что это условие выполняется для $x \in [-1 - \sqrt{5}; -1 - \sqrt{3}] \cup [-1 + \sqrt{3}; -1 + \sqrt{5}]$.

Приблизительные значения границ: $-1-\sqrt{5} \approx -3.24$, $-1-\sqrt{3} \approx -2.73$, $-1+\sqrt{3} \approx 0.73$, $-1+\sqrt{5} \approx 1.24$.

На первом интервале (приблизительно $[-3.24; -2.73]$) парабола возрастает от -1 до 1. Сравнивая значения синуса и параболы на концах этого отрезка, можно заключить, что графики пересекаются один раз.

На втором интервале (приблизительно $[0.73; 1.24]$) парабола убывает от 1 до -1. Аналогичный анализ показывает, что и на этом отрезке есть одна точка пересечения.

Таким образом, всего существует две точки пересечения графиков.

Ответ: 2.

2) Рассмотрим уравнение $tg(x + 2) = 3 - 2x$. Построим графики функций $y = tg(x + 2)$ и $y = 3 - 2x$.

1. Функция $y = 3 - 2x$ — это прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом (-2), то есть она монотонно убывает на всей области определения.

2. Функция $y = tg(x + 2)$ — это тангенс, график которого смещен на 2 единицы влево. График состоит из бесконечного числа ветвей. Каждая ветвь является непрерывной и монотонно возрастающей функцией на своем интервале определения. Интервалы разделены вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} - 2 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На каждом таком интервале область значений тангенса — $(-\infty; +\infty)$.

Поскольку на каждом интервале между асимптотами функция тангенса возрастает от $-\infty$ до $+\infty$, а прямая $y = 3-2x$ убывает, то их графики обязательно пересекутся, причем ровно один раз на каждом таком интервале.

Так как число ветвей тангенса (и интервалов между асимптотами) бесконечно, то и число точек пересечения будет бесконечным.

Ответ: бесконечно много.