Номер 19.18, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.18. Графическим способом решите уравнение:

1) $ \arccos x = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $;

2) $ \operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x $;

3) $ 2\arcsin x = \pi + 1 - x $.

1) Для решения уравнения $ \arccos x = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $ графическим способом построим в одной системе координат графики двух функций: $ y = \arccos x $ и $ y = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $.

График функции $ y = \arccos x $ — это кривая, определённая на отрезке $ [-1; 1] $, со значениями в отрезке $ [0; \pi] $. Функция является убывающей. Ключевые точки графика: $ (-1, \pi) $, $ (0, \frac{\pi}{2}) $, $ (1, 0) $.

График функции $ y = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $ (0, \frac{\pi}{2}) $, так как при $ x=0 $ функция принимает максимальное значение $ y(0) = \frac{\pi}{2} $.

При построении графиков видно, что они пересекаются в одной точке — в вершине параболы. Координаты этой точки $ (0, \frac{\pi}{2}) $. Проверим, принадлежит ли эта точка графику первой функции: $ \arccos(0) = \frac{\pi}{2} $. Так как точка принадлежит обоим графикам, абсцисса этой точки является решением уравнения.

Можно показать, что других решений нет. На интервале $ (-1, 0) $ функция $ y = \arccos x $ убывает, а функция $ y = -\frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} $ возрастает, следовательно, они не могут пересечься, так как "приближаются" к общей точке $ (0, \frac{\pi}{2}) $. На интервале $ (0, 1) $ обе функции убывают. Однако, можно заметить, что $ y = \arccos x $ убывает быстрее, чем парабола, поэтому, выйдя из общей точки, их графики больше не пересекаются. Таким образом, $ x=0 $ — единственный корень.

Ответ: $ x=0 $.

2) Для решения уравнения $ \operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x $ построим графики функций $ y = \operatorname{arctg} x $ и $ y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x $.

График функции $ y = \operatorname{arctg} x $ — это арктангенсоида, строго возрастающая функция, определённая для всех $ x \in (-\infty, \infty) $, со значениями в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. График проходит через начало координат $ (0, 0) $ и точку $ (1, \frac{\pi}{4}) $.

График функции $ y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}x $ — это прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом $ k = -\frac{\pi}{4} $, то есть функция является строго убывающей. Прямая пересекает ось OY в точке $ (0, \frac{\pi}{2}) $ и ось OX в точке $ (2, 0) $.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим, есть ли очевидные точки пересечения. Подставим $ x=1 $ в оба уравнения:

$ y(1) = \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $

$ y(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \cdot 1 = \frac{2\pi - \pi}{4} = \frac{\pi}{4} $

Значения совпали, значит, графики пересекаются в точке $ (1, \frac{\pi}{4}) $.

Поскольку это единственно возможная точка пересечения, уравнение имеет один корень.

Ответ: $ x=1 $.

3) Для решения уравнения $ 2\arcsin x = \pi + 1 - x $ преобразуем его к виду $ \arcsin x = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{x}{2} $. Построим графики функций $ y = \arcsin x $ и $ y = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{x}{2} $.

График функции $ y = \arcsin x $ — это кривая, определённая на отрезке $ [-1; 1] $, со значениями в отрезке $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $. Функция является строго возрастающей. Ключевые точки: $ (-1, -\frac{\pi}{2}) $, $ (0, 0) $, $ (1, \frac{\pi}{2}) $.

График функции $ y = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{x}{2} $ — это прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом $ k = -\frac{1}{2} $, то есть функция является строго убывающей.

Так как функция $ y = \arcsin x $ строго возрастает, а функция $ y = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{x}{2} $ строго убывает, их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Проверим значения функций на концах области определения $ [-1, 1] $.

При $ x = 1 $:

$ y(1) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} $

$ y(1) = \frac{\pi + 1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} $

Значения совпадают. Следовательно, графики пересекаются в точке $ (1, \frac{\pi}{2}) $, и $ x=1 $ является решением уравнения.

Поскольку это единственно возможная точка пересечения, других корней нет.

Ответ: $ x=1 $.