Задания, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Приведите пример уравнения, у которого в его левой части два слагаемых, содержащих только $sinx$ или $cosx$, и каждое из них относительно $sinx$ и $cosx$ четвертой степени, а правая часть равна 0.

Согласно условию, необходимо составить уравнение, левая часть которого представляет собой сумму двух слагаемых, а правая часть равна нулю. Каждое из слагаемых должно содержать только функции $\sin(x)$ или $\cos(x)$ и быть четвертой степени относительно этих функций.

Уравнения такого вида, где все слагаемые имеют одинаковую степень относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$, называются однородными тригонометрическими уравнениями. Степень слагаемого определяется как сумма показателей степеней у сомножителей $\sin(x)$ и $\cos(x)$. В данном случае нам нужны слагаемые четвертой степени.

Общий вид такого слагаемого можно записать как $A \cdot \sin^k(x) \cos^{n}(x)$, где $k+n=4$ и $A$ — некоторый числовой коэффициент.

Составим уравнение, выбрав два слагаемых, удовлетворяющих этим условиям. Для простоты возьмем слагаемые, содержащие только синус и только косинус в четвертой степени.

1. Первое слагаемое: пусть это будет $\sin^4(x)$. Здесь степень синуса равна 4, степень косинуса равна 0, их сумма $4+0=4$.

2. Второе слагаемое: пусть это будет $\cos^4(x)$. Здесь степень синуса равна 0, степень косинуса равна 4, их сумма $0+4=4$.

Теперь объединим их в одно уравнение. Мы можем использовать любые ненулевые коэффициенты. Возьмем коэффициенты 1 и -1. Уравнение примет вид:

$\sin^4(x) - \cos^4(x) = 0$

Проверим это уравнение на соответствие всем требованиям:

• В левой части два слагаемых: $\sin^4(x)$ и $(-\cos^4(x))$.

• Каждое слагаемое содержит только $\sin(x)$ или $\cos(x)$.

• Степень каждого слагаемого относительно $\sin(x)$ и $\cos(x)$ равна 4.

• Правая часть равна 0.

Таким образом, данное уравнение полностью удовлетворяет условию задачи. Другим примером может служить уравнение $2\sin^2(x)\cos^2(x) + 3\cos^4(x) = 0$, так как степень первого слагаемого равна $2+2=4$, а второго — 4.

Ответ: $\sin^4(x) - \cos^4(x) = 0$.