Задания, страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как после преобразования выражения $(\sin x + \cos x)^4 + (\sin x - \cos x)^4$ получили выражение $2 + 2\sin^2 2x$?

Для того чтобы показать, как из выражения $(\sin x + \cos x)^4 + (\sin x - \cos x)^4$ получили $2 + 2\sin^2 2x$, выполним следующие пошаговые преобразования.

Шаг 1. Представим четвертые степени как квадрат квадрата, используя свойство $a^4 = (a^2)^2$:

$(\sin x + \cos x)^4 + (\sin x - \cos x)^4 = ((\sin x + \cos x)^2)^2 + ((\sin x - \cos x)^2)^2$.

Шаг 2. Упростим выражения, стоящие во внутренних скобках. Для этого используем формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Для первого выражения:

$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) + (2\sin x \cos x) = 1 + \sin 2x$.

Для второго выражения:

$(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) - (2\sin x \cos x) = 1 - \sin 2x$.

Шаг 3. Подставим полученные результаты обратно в выражение из шага 1:

$(1 + \sin 2x)^2 + (1 - \sin 2x)^2$.

Шаг 4. Раскроем оставшиеся скобки, снова используя формулы квадрата суммы и разности:

$(1 + 2\sin 2x + \sin^2 2x) + (1 - 2\sin 2x + \sin^2 2x)$.

Шаг 5. Сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые. Члены $2\sin 2x$ и $-2\sin 2x$ взаимно уничтожаются.

$1 + 1 + \sin^2 2x + \sin^2 2x = 2 + 2\sin^2 2x$.

Таким образом, мы показали, что исходное выражение $(\sin x + \cos x)^4 + (\sin x - \cos x)^4$ действительно равно $2 + 2\sin^2 2x$.

Ответ: Преобразование выполнено путем представления четвертой степени как квадрата квадрата, двукратного применения формул сокращенного умножения, а также использования основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулы синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.