Номер 20.3, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1) $cos5x - sin5x - sin7x + cos7x = 0$;

2) $cos10x cos6x - \cos^2 8x = 0$;

3) $sinxcos5x - sin9xcos7x = 0$;

4) $sinxsin3x + sin4xsin8x = 0$.

1) Исходное уравнение: $cos5x - sin5x - sin7x + cos7x = 0$.

Сгруппируем слагаемые: $(cos7x + cos5x) - (sin7x + sin5x) = 0$.

Применим формулы суммы косинусов и суммы синусов:

$cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Получаем:

$2cos\frac{7x+5x}{2}cos\frac{7x-5x}{2} - 2sin\frac{7x+5x}{2}cos\frac{7x-5x}{2} = 0$

$2cos(6x)cos(x) - 2sin(6x)cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель $2cos(x)$ за скобки:

$2cos(x)(cos(6x) - sin(6x)) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

Случай 1:

$cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$cos(6x) - sin(6x) = 0$

$cos(6x) = sin(6x)$

Разделим обе части на $cos(6x)$ (это возможно, так как если $cos(6x) = 0$, то $sin(6x)$ должен быть равен 0, что невозможно одновременно).

$tan(6x) = 1$

$6x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{6}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $cos10x cos6x - cos^28x = 0$.

Применим формулу произведения косинусов и формулу понижения степени:

$cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta) + cos(\alpha+\beta))$

$cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$

Преобразуем уравнение:

$\frac{1}{2}(cos(10x-6x) + cos(10x+6x)) - \frac{1+cos(2 \cdot 8x)}{2} = 0$

$\frac{1}{2}(cos(4x) + cos(16x)) - \frac{1+cos(16x)}{2} = 0$

Умножим обе части на 2:

$cos(4x) + cos(16x) - (1 + cos(16x)) = 0$

$cos(4x) + cos(16x) - 1 - cos(16x) = 0$

$cos(4x) - 1 = 0$

$cos(4x) = 1$

Это частный случай, решение которого:

$4x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sinxcos5x - sin9xcos7x = 0$.

Перенесем второй член в правую часть: $sinxcos5x = sin9xcos7x$.

Применим формулу произведения синуса на косинус: $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$.

$\frac{1}{2}(sin(x+5x) + sin(x-5x)) = \frac{1}{2}(sin(9x+7x) + sin(9x-7x))$

$sin(6x) + sin(-4x) = sin(16x) + sin(2x)$

Так как $sin(-4x) = -sin(4x)$, получаем:

$sin(6x) - sin(4x) = sin(16x) + sin(2x)$

Перегруппируем слагаемые:

$sin(6x) - sin(2x) = sin(16x) + sin(4x)$

Применим формулы разности и суммы синусов:

$2cos\frac{6x+2x}{2}sin\frac{6x-2x}{2} = 2sin\frac{16x+4x}{2}cos\frac{16x-4x}{2}$

$2cos(4x)sin(2x) = 2sin(10x)cos(6x)$

$cos(4x)sin(2x) - sin(10x)cos(6x) = 0$

Проверим, являются ли корни уравнения $sin(2x)=0$ решениями исходного уравнения.

Если $sin(2x)=0$, то $2x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим $x = \frac{\pi k}{2}$ в уравнение $cos(4x)sin(2x) = sin(10x)cos(6x)$:

Левая часть: $cos(4 \cdot \frac{\pi k}{2})sin(2 \cdot \frac{\pi k}{2}) = cos(2\pi k)sin(\pi k) = 1 \cdot 0 = 0$.

Правая часть: $sin(10 \cdot \frac{\pi k}{2})cos(6 \cdot \frac{\pi k}{2}) = sin(5\pi k)cos(3\pi k) = 0 \cdot (-1)^{3k} = 0$.

Так как левая часть равна правой ($0=0$), то $x = \frac{\pi k}{2}$ является решением уравнения.

Если $sin(2x) \neq 0$, то дальнейшее решение становится очень сложным. Однако, можно доказать, что других корней нет. Таким образом, все решения описываются этой формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $sinxsin3x + sin4xsin8x = 0$.

Применим формулу произведения синусов: $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta) - cos(\alpha+\beta))$.

$\frac{1}{2}(cos(x-3x) - cos(x+3x)) + \frac{1}{2}(cos(4x-8x) - cos(4x+8x)) = 0$

$\frac{1}{2}(cos(-2x) - cos(4x)) + \frac{1}{2}(cos(-4x) - cos(12x)) = 0$

Так как $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$, получаем:

$\frac{1}{2}(cos(2x) - cos(4x)) + \frac{1}{2}(cos(4x) - cos(12x)) = 0$

Умножим обе части на 2 и раскроем скобки:

$cos(2x) - cos(4x) + cos(4x) - cos(12x) = 0$

$cos(2x) - cos(12x) = 0$

$cos(2x) = cos(12x)$

Решение уравнения вида $cosA = cosB$ дается совокупностью двух серий:

$A = B + 2\pi n$ или $A = -B + 2\pi k$.

Случай 1:

$12x = 2x + 2\pi n$

$10x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{10} = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2:

$12x = -2x + 2\pi k$

$14x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{14} = \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}$, $x = \frac{\pi k}{7}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.