Номер 20.6, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.6. Найдите значение суммы корней уравнения:

1) $sin^2x - 3sinx + 2 = 0$, если $x \in [0^\circ; 360^\circ]$;

2) $5cos^2x - 5cosx = 1 - 3sin^2x$, если $x \in [270^\circ; 450^\circ]$;

3) $sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0$, если $x \in [0^\circ; 180^\circ]$;

4) $sinx + \sqrt{3} cosx = 1$, если $x \in [270^\circ; 450^\circ]$.

1) Дано уравнение $sin^2x - 3sinx + 2 = 0$, если $x \in [0^\circ; 360^\circ]$.

Введем замену $t = sinx$, где $-1 \le t \le 1$. Уравнение принимает вид $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию $|sinx| \le 1$, поэтому рассматриваем только $t_1=1$.

Возвращаемся к исходной переменной: $sinx = 1$.

Общее решение этого уравнения: $x = 90^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Находим корень, принадлежащий интервалу $[0^\circ; 360^\circ]$. При $k=0$ получаем $x_1 = 90^\circ$.

Других корней на данном интервале нет. Сумма корней равна $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) Дано уравнение $5cos^2x - 5cosx = 1 - 3sin^2x$, если $x \in [270^\circ; 450^\circ]$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2x = 1 - cos^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции:

$5cos^2x - 5cosx = 1 - 3(1 - cos^2x)$

$5cos^2x - 5cosx = 1 - 3 + 3cos^2x$

$2cos^2x - 5cosx + 2 = 0$.

Сделаем замену $t = cosx$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Решаем его: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

Корни: $t_1 = \frac{5+3}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = 2$ не подходит, так как $|cosx| \le 1$. Остается $t_2 = 1/2$.

Обратная замена: $cosx = 1/2$.

Общее решение: $x = \pm 60^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем корни, лежащие в интервале $[270^\circ; 450^\circ]$.

1. Серия $x = 60^\circ + 360^\circ k$. При $k=1$ получаем $x_1 = 60^\circ + 360^\circ = 420^\circ$. Этот корень принадлежит интервалу.

2. Серия $x = -60^\circ + 360^\circ k$. При $k=1$ получаем $x_2 = -60^\circ + 360^\circ = 300^\circ$. Этот корень принадлежит интервалу.

Найденные корни: $300^\circ$ и $420^\circ$.

Сумма корней: $300^\circ + 420^\circ = 720^\circ$.

Ответ: $720^\circ$.

3) Дано уравнение $sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0$, если $x \in [0^\circ; 180^\circ]$.

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(sinx + sin4x) + (sin2x + sin3x) = 0$

$2sin\frac{x+4x}{2}cos\frac{x-4x}{2} + 2sin\frac{2x+3x}{2}cos\frac{2x-3x}{2} = 0$

$2sin\frac{5x}{2}cos(-\frac{3x}{2}) + 2sin\frac{5x}{2}cos(-\frac{x}{2}) = 0$

Так как $cos(-\alpha) = cos\alpha$, вынесем общий множитель $2sin\frac{5x}{2}$ за скобки:

$2sin\frac{5x}{2}(cos\frac{3x}{2} + cos\frac{x}{2}) = 0$

Применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению в скобках:

$2sin\frac{5x}{2} \cdot (2cos(x)cos(\frac{x}{2})) = 0 \implies 4sin\frac{5x}{2}cos(x)cos(\frac{x}{2}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $sin\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = 180^\circ k \implies x = 72^\circ k$.

Для интервала $[0^\circ; 180^\circ]$ подходят $k=0, 1, 2$, что дает корни $x_1=0^\circ, x_2=72^\circ, x_3=144^\circ$.

2. $cos(x) = 0 \implies x = 90^\circ + 180^\circ k$.

Для интервала $[0^\circ; 180^\circ]$ подходит $k=0$, что дает корень $x_4=90^\circ$.

3. $cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = 90^\circ + 180^\circ k \implies x = 180^\circ + 360^\circ k$.

Для интервала $[0^\circ; 180^\circ]$ подходит $k=0$, что дает корень $x_5=180^\circ$.

Все найденные корни на заданном интервале: $0^\circ, 72^\circ, 90^\circ, 144^\circ, 180^\circ$.

Сумма корней: $0^\circ + 72^\circ + 90^\circ + 144^\circ + 180^\circ = 486^\circ$.

Ответ: $486^\circ$.

4) Дано уравнение $sinx + \sqrt{3} cosx = 1$, если $x \in [270^\circ; 450^\circ]$.

Это уравнение вида $a \cdot sinx + b \cdot cosx = c$. Применим метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.

$\frac{1}{2}sinx + \frac{\sqrt{3}}{2}cosx = \frac{1}{2}$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = cos(60^\circ)$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = sin(60^\circ)$.

$cos(60^\circ)sinx + sin(60^\circ)cosx = \frac{1}{2}$.

Используя формулу синуса суммы $sin(\alpha+\beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$, получаем:

$sin(x+60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Это уравнение распадается на две серии решений:

1. $x+60^\circ = 30^\circ + 360^\circ k \implies x = -30^\circ + 360^\circ k$

2. $x+60^\circ = 180^\circ - 30^\circ + 360^\circ k \implies x+60^\circ = 150^\circ + 360^\circ k \implies x = 90^\circ + 360^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $[270^\circ; 450^\circ]$.

1. Для $x = -30^\circ + 360^\circ k$: при $k=1$ получаем $x_1 = -30^\circ + 360^\circ = 330^\circ$. Корень подходит.

2. Для $x = 90^\circ + 360^\circ k$: при $k=1$ получаем $x_2 = 90^\circ + 360^\circ = 450^\circ$. Корень подходит, так как интервал включает правую границу.

Найденные корни: $330^\circ$ и $450^\circ$.

Сумма корней: $330^\circ + 450^\circ = 780^\circ$.

Ответ: $780^\circ$.