Номер 20.12, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.12. Решите систему уравнений, используя метод подстановки:

1) $\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}}, \\ x - y = -\frac{\pi}{4}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \cos x + \cos y = 0, \\ x - y = \frac{4\pi}{3}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2}, \\ x + y = -\frac{\pi}{6}. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}} \\ x - y = -\frac{\pi}{4} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y - \frac{\pi}{4}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\sin(y - \frac{\pi}{4}) \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$:

$(\sin y \cos\frac{\pi}{4} - \cos y \sin\frac{\pi}{4}) \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin y - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos y) \sin y = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin^2 y - \sin y \cos y) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} (\sin^2 y - \sin y \cos y) = 1$

$2(\sin^2 y - \sin y \cos y) = 1$

$2\sin^2 y - 2\sin y \cos y = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 y + \cos^2 y$:

$2\sin^2 y - 2\sin y \cos y = \sin^2 y + \cos^2 y$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 y - 2\sin y \cos y - \cos^2 y = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Если $\cos y = 0$, то $\sin^2 y = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Следовательно, $\cos y \neq 0$. Разделим обе части на $\cos^2 y$:

$\frac{\sin^2 y}{\cos^2 y} - \frac{2\sin y \cos y}{\cos^2 y} - \frac{\cos^2 y}{\cos^2 y} = 0$

$\tan^2 y - 2\tan y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $\tan y$, используя замену $t = \tan y$:

$t^2 - 2t - 1 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$

$t = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Возвращаемся к $\tan y$:

Случай 1: $\tan y = 1 + \sqrt{2}$.

$y = \arctan(1+\sqrt{2}) + \pi n = \frac{3\pi}{8} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Тогда $x = y - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{8} + \pi n - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi - 2\pi}{8} + \pi n = \frac{\pi}{8} + \pi n$.

Случай 2: $\tan y = 1 - \sqrt{2}$.

$y = \arctan(1-\sqrt{2}) + \pi k = -\frac{\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Тогда $x = y - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8} + \pi k - \frac{\pi}{4} = \frac{-\pi - 2\pi}{8} + \pi k = -\frac{3\pi}{8} + \pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{8} + \pi n, \frac{3\pi}{8} + \pi n)$, $(-\frac{3\pi}{8} + \pi k, -\frac{\pi}{8} + \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0 \\ x - y = \frac{4\pi}{3} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$:

$x = y + \frac{4\pi}{3}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\cos(y + \frac{4\pi}{3}) + \cos y = 0$

Воспользуемся формулой суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos\frac{y + \frac{4\pi}{3} + y}{2} \cos\frac{y + \frac{4\pi}{3} - y}{2} = 0$

$2\cos\frac{2y + \frac{4\pi}{3}}{2} \cos\frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = 0$

$2\cos(y + \frac{2\pi}{3}) \cos(\frac{2\pi}{3}) = 0$

Так как $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, уравнение принимает вид:

$2\cos(y + \frac{2\pi}{3}) \cdot (-\frac{1}{2}) = 0$

$-\cos(y + \frac{2\pi}{3}) = 0$

$\cos(y + \frac{2\pi}{3}) = 0$

Это уравнение выполняется, когда аргумент косинуса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$:

$y + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$y = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n = \frac{3\pi - 4\pi}{6} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Теперь найдем $x$:

$x = y + \frac{4\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi n + \frac{4\pi}{3} = \frac{-\pi + 8\pi}{6} + \pi n = \frac{7\pi}{6} + \pi n$.

Ответ: $(\frac{7\pi}{6} + \pi n, -\frac{\pi}{6} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2} \\ x + y = -\frac{\pi}{6} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = -x - \frac{\pi}{6}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\sin x \cos(-x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Используем свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$:

$\sin x \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:

$\sin x (\cos x \cos\frac{\pi}{6} - \sin x \sin\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin x (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x) = -\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \cos x - \frac{1}{2}\sin^2 x = -\frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$\sqrt{3}\sin x \cos x - \sin^2 x = -1$

$\sqrt{3}\sin x \cos x + 1 - \sin^2 x = 0$

Заменим $1 - \sin^2 x$ на $\cos^2 x$:

$\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3}\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Случай 1: $\cos x = 0$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем $y$: $y = -x - \frac{\pi}{6} = -(\frac{\pi}{2} + \pi n) - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - \pi n = -\frac{4\pi}{6} - \pi n = -\frac{2\pi}{3} - \pi n$.

Случай 2: $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 0$.

Если $\cos x = 0$, то $\sqrt{3}\sin x = 0$, откуда $\sin x = 0$, что невозможно. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos x$:

$\sqrt{3}\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем $y$: $y = -x - \frac{\pi}{6} = -(-\frac{\pi}{6} + \pi k) - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - \pi k - \frac{\pi}{6} = -\pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, -\frac{2\pi}{3} - \pi n)$, $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, -\pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.