Номер 20.19, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.19. Найдите знак выражения:

1) $\operatorname{tg}2 \cdot \operatorname{ctg}2 + \cos^2\pi - \sin^2{35} - \cos^2{35};$

2) $\cos1 \cdot \cos(1 + \pi) + \sin60^\circ - \cos30^\circ;$

3) $\sin1 \cdot \cos2;$

4) $\sin(-3) \cdot \sin4 \cdot \cos5.$

1) Рассмотрим выражение $\text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 + \cos^2\pi - \sin^2{35} - \cos^2{35}$.

Первый член выражения $\text{tg}2 \cdot \text{ctg}2$ равен 1, так как произведение тангенса и котангенса одного и того же угла (если они определены) равно 1. Угол 2 радиана находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$), где тангенс и котангенс определены.

Второй член выражения $\cos^2\pi$. Мы знаем, что $\cos\pi = -1$, следовательно, $\cos^2\pi = (-1)^2 = 1$.

Последние два члена $- \sin^2{35} - \cos^2{35}$ можно преобразовать, вынеся минус за скобки: $-(\sin^2{35} + \cos^2{35})$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $-1$.

Сложим все части: $1 + 1 - 1 = 1$.

Полученное значение равно 1, оно положительное.

Ответ: знак плюс.

2) Рассмотрим выражение $\cos1 \cdot \cos(1 + \pi) + \sin{60^\circ} - \cos{30^\circ}$.

Используем формулу приведения для $\cos(1 + \pi)$. Формула гласит: $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$. Таким образом, $\cos(1 + \pi) = -\cos1$.

Тогда первая часть выражения равна $\cos1 \cdot (-\cos1) = -\cos^21$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $\sin{60^\circ} - \cos{30^\circ}$. Это табличные значения: $\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\sin{60^\circ} - \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Всё выражение равно $-\cos^21 + 0 = -\cos^21$.

Угол 1 радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$), поэтому $\cos1 > 0$ и $\cos1 \neq 0$. Квадрат любого ненулевого числа положителен, то есть $\cos^21 > 0$.

Таким образом, $-\cos^21$ является отрицательным числом.

Ответ: знак минус.

3) Рассмотрим выражение $\sin1 \cdot \cos2$.

Определим знаки каждого множителя. Для этого определим, в каких четвертях лежат углы 1 и 2 радиана, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$.

$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

Для угла 1 радиан: $0 < 1 < 1.57$, то есть $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$. Этот угол находится в I четверти. Синус в I четверти положителен, значит $\sin1 > 0$.

Для угла 2 радиана: $1.57 < 2 < 3.14$, то есть $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$. Этот угол находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, значит $\cos2 < 0$.

Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Следовательно, $\sin1 \cdot \cos2 < 0$.

Ответ: знак минус.

4) Рассмотрим выражение $\sin(-3) \cdot \sin4 \cdot \cos5$.

Определим знак каждого множителя. Используем приближенные значения $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

Первый множитель $\sin(-3)$. Функция синус нечетная, поэтому $\sin(-3) = -\sin3$. Угол 3 радиана находится во II четверти ($\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$), где синус положителен ($\sin3 > 0$). Следовательно, $\sin(-3) < 0$.

Второй множитель $\sin4$. Угол 4 радиана находится в III четверти ($\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$), где синус отрицателен. Следовательно, $\sin4 < 0$.

Третий множитель $\cos5$. Угол 5 радиан находится в IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$), где косинус положителен. Следовательно, $\cos5 > 0$.

Перемножим знаки: $(-) \cdot (-) \cdot (+) = (+)$.

Результат произведения — положительное число.

Ответ: знак плюс.