Вопросы, страница 168, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что является решением неравенства:1) $sin x > 0$; 2) $sin x < 0$; 3) $cos x > 0$; 4) $cos x < 0$; 5) $\operatorname{tg} x < 0$; 6) $\operatorname{ctg} x > 0$?

2. Решите неравенства:1) $sin x > 1$; 2) $sin x \le -1$; 3) $cos x \ge 1$; 4) $cos x \le -1$.

1. Для решения данных тригонометрических неравенств используется метод единичной окружности.

1) Неравенство $\sin x > 0$.

Синус (ордината точки на единичной окружности) положителен в I и II координатных четвертях. Этим четвертям соответствуют углы в интервале $(0, \pi)$. С учетом периодичности функции синус, равной $2\pi$, общее решение неравенства:

Ответ: $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

2) Неравенство $\sin x < 0$.

Синус отрицателен в III и IV координатных четвертях. Этим четвертям соответствуют углы в интервале $(\pi, 2\pi)$. С учетом периодичности, общее решение:

Ответ: $\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

3) Неравенство $\cos x > 0$.

Косинус (абсцисса точки на единичной окружности) положителен в I и IV координатных четвертях. Этим четвертям соответствуют углы в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. С учетом периодичности функции косинус, равной $2\pi$, общее решение:

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

4) Неравенство $\cos x < 0$.

Косинус отрицателен во II и III координатных четвертях. Этим четвертям соответствуют углы в интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. С учетом периодичности, общее решение:

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

5) Неравенство $\text{tg } x < 0$.

Тангенс отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки, то есть во II и IV четвертях. Период функции тангенс равен $\pi$. Решением является объединение интервалов, повторяющихся с периодом $\pi$. Это интервалы вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n)$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n$, где $n \in Z$.

6) Неравенство $\text{ctg } x > 0$.

Котангенс положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки, то есть в I и III четвертях. Период функции котангенс равен $\pi$. Решением является объединение интервалов, повторяющихся с периодом $\pi$. Это интервалы вида $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.

Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

2. Для решения данных неравенств используется область значений тригонометрических функций.

1) Неравенство $\sin x > 1$.

Область значений функции $y=\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Значения синуса не могут быть больше 1. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) Неравенство $\sin x \le -1$.

Так как область значений функции синуса $[-1, 1]$, то $\sin x$ не может быть меньше -1. Следовательно, данное неравенство равносильно уравнению $\sin x = -1$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

3) Неравенство $\cos x \ge 1$.

Область значений функции $y=\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Значения косинуса не могут быть больше 1. Следовательно, данное неравенство равносильно уравнению $\cos x = 1$.

Ответ: $x = 2\pi n$, где $n \in Z$.

4) Неравенство $\cos x < -1$.

Так как область значений функции косинуса $[-1, 1]$, то $\cos x$ не может быть меньше -1. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.