Номер 21.6, страница 168, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (21.6—21.7):

21.6. 1) $2\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) \le 1$; 2) $2\cos\left(4x - \frac{\pi}{6}\right) > 1$; 3) $\sqrt{2}\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \ge 1$.

168

1) Дано неравенство $2\cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le 1$.

Сначала разделим обе части неравенства на 2:

$\cos(2x + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$.

Введем новую переменную $t = 2x + \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид:

$\cos(t) \le \frac{1}{2}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является совокупность промежутков, которые можно найти с помощью единичной окружности. Значения $t$, для которых $\cos(t) \le \frac{1}{2}$, лежат в интервале от $\frac{\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$ (или до $-\frac{\pi}{3} + 2\pi$). С учетом периодичности косинуса, получаем:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь сделаем обратную замену, подставив $2x + \frac{\pi}{3}$ вместо $t$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 2x + \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей двойного неравенства:

$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2\pi n \le 2x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.

Наконец, разделим все части на 2, чтобы выразить $x$:

$\pi n \le x \le \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

Ответ: $x \in [\pi n, \frac{2\pi}{3} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано неравенство $2\cos(4x - \frac{\pi}{6}) > 1$.

Разделим обе части на 2:

$\cos(4x - \frac{\pi}{6}) > \frac{1}{2}$.

Введем переменную $t = 4x - \frac{\pi}{6}$, получим неравенство $\cos(t) > \frac{1}{2}$.

Решение этого неравенства на единичной окружности соответствует дуге, где абсцисса точек больше $\frac{1}{2}$. Это происходит между углами $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$. С учетом периодичности:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 4x - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$-\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{3\pi}{6} + 2\pi n$

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 4x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Разделим все части на 4:

$-\frac{\pi}{24} + \frac{2\pi n}{4} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{4}$

$-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}), n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано неравенство $\sqrt{2} \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \ge 1$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$, или $\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Введем переменную $t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид:

$\sin(t) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

На единичной окружности значения $t$, для которых $\sin(t) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$, находятся в промежутке от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{3\pi}{4}$ включительно. С учетом периодичности:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{2\pi}{4} + 2\pi n$

$2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Умножим все части на 2:

$4\pi n \le x \le \pi + 4\pi n$.

Ответ: $x \in [4\pi n, \pi + 4\pi n], n \in \mathbb{Z}$.