Номер 21.5, страница 168, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.5. Найдите решение неравенства:

1) $\sin x \cos x > \frac{1}{4}$;

2) $\cos^2 x - \sin^2 x \le \frac{1}{2}$;

3) $\sin 2x \cos 2x \le \frac{1}{4}$;

4) $\cos^2 x - \sin^2 x > \frac{1}{2}$.

1) $ \sin x \cos x > \frac{1}{4} $

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $.

Отсюда $ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) $.

Подставим это в исходное неравенство:

$ \frac{1}{2} \sin(2x) > \frac{1}{4} $

Умножим обе части на 2:

$ \sin(2x) > \frac{1}{2} $

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Обозначим $ t = 2x $.

$ \sin t > \frac{1}{2} $

Решением этого неравенства является интервал $ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к переменной $ x $:

$ \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n $

Разделим все части неравенства на 2:

$ \frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{5\pi}{12} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n) $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos^2 x - \sin^2 x \le \frac{1}{2} $

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.

Подставим это в исходное неравенство:

$ \cos(2x) \le \frac{1}{2} $

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Обозначим $ t = 2x $.

$ \cos t \le \frac{1}{2} $

Решением этого неравенства является интервал $ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к переменной $ x $:

$ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n $

Разделим все части неравенства на 2:

$ \frac{\pi}{6} + \pi n \le x \le \frac{5\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{5\pi}{6} + \pi n] $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \sin(2x) \cos(2x) \le \frac{1}{4} $

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha $. В нашем случае $ \alpha = 2x $.

Отсюда $ \sin(2x) \cos(2x) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin(4x) $.

Подставим это в исходное неравенство:

$ \frac{1}{2} \sin(4x) \le \frac{1}{4} $

Умножим обе части на 2:

$ \sin(4x) \le \frac{1}{2} $

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Обозначим $ t = 4x $.

$ \sin t \le \frac{1}{2} $

Решением этого неравенства является интервал $ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi n $ (или $ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n $), где $ n \in \mathbb{Z} $.

Возьмем второй, более удобный вариант записи. Вернемся к переменной $ x $:

$ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \le 4x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

Разделим все части неравенства на 4:

$ -\frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} \le x \le \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in [-\frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}; \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}] $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

4) $ \cos^2 x - \sin^2 x > \frac{1}{2} $

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $.

Подставим это в исходное неравенство:

$ \cos(2x) > \frac{1}{2} $

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Обозначим $ t = 2x $.

$ \cos t > \frac{1}{2} $

Решением этого неравенства является интервал $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь вернемся к переменной $ x $:

$ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{3} + 2\pi n $

Разделим все части неравенства на 2:

$ -\frac{\pi}{6} + \pi n < x < \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{\pi}{6} + \pi n) $, где $ n \in \mathbb{Z} $.