Номер 21.7, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1) Исходное неравенство: $\sin x \cdot \cos\frac{\pi}{6} - \cos x \cdot \sin\frac{\pi}{6} \le \frac{1}{2}$.

Левая часть неравенства представляет собой формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Применив эту формулу, где $\alpha=x$ и $\beta=\frac{\pi}{6}$, получим неравенство:

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) \le \frac{1}{2}$.

Для решения введем замену: пусть $t = x - \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид:

$\sin t \le \frac{1}{2}$.

Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Сначала найдем корни уравнения $\sin t = \frac{1}{2}$. Решениями являются $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности значения синуса соответствуют ординате (координате y). Нам нужны точки, у которых ордината меньше или равна $\frac{1}{2}$. Это соответствует дуге, заключенной между углами $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$ следующего оборота, то есть $2\pi+\frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = x - \frac{\pi}{6}$:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям двойного неравенства:

$\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{13\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$\frac{6\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{14\pi}{6} + 2\pi n$

$\pi + 2\pi n \le x \le \frac{7\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[\pi + 2\pi n; \frac{7\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное неравенство: $\sin x \cdot \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \cdot \sin\frac{\pi}{4} < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Левая часть неравенства является синусом разности углов $x$ и $\frac{\pi}{4}$, согласно формуле $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Неравенство преобразуется к виду:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Введем замену: пусть $t = x - \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид:

$\sin t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решим это неравенство. Сначала найдем углы, для которых $\sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $t = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. На одном круге это углы $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.

На единичной окружности нам нужны точки, у которых ордината строго меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга, расположенная строго между углами $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $x$, подставив $t = x - \frac{\pi}{4}$:

$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x - \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям двойного неравенства:

$\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{16\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi n < x < \frac{20\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi n$

$\frac{19\pi}{12} + 2\pi n < x < \frac{23\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{19\pi}{12} + 2\pi n; \frac{23\pi}{12} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.