Номер 21.14, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.14. Решите неравенство:

1) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x < 0$;

2) $\cos x \cos 3x \le 0.5 \cos 2x$.

1) Решим неравенство $ \cos x + \cos 2x + \cos 3x < 0 $.

Сгруппируем первое и третье слагаемые и воспользуемся формулой суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ (\cos x + \cos 3x) + \cos 2x < 0 $

$ 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} + \cos 2x < 0 $

$ 2\cos(2x)\cos x + \cos 2x < 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos(2x) $ за скобки:

$ \cos(2x)(2\cos x + 1) < 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни выражения $ \cos(2x)(2\cos x + 1) $ на промежутке $ [0, 2\pi) $.

1. $ \cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $. На промежутке $ [0, 2\pi) $ корнями являются $ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} $.

2. $ 2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} $. На промежутке $ [0, 2\pi) $ корнями являются $ \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} $.

Отметим все корни на числовой окружности (или прямой) в порядке возрастания: $ \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{4} $.

Эти точки разбивают промежуток $ [0, 2\pi) $ на интервалы. Определим знак выражения $ f(x) = \cos(2x)(2\cos x + 1) $ в каждом из интервалов:

• При $ x \in (0, \frac{\pi}{4}) $, например $ x=\frac{\pi}{6} $: $ f(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3})(2\cos\frac{\pi}{6}+1) = \frac{1}{2}(2\frac{\sqrt{3}}{2}+1) > 0 $.
• При $ x \in (\frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}) $, например $ x=\frac{\pi}{2} $: $ f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\pi)(2\cos\frac{\pi}{2}+1) = (-1)(0+1) < 0 $. Интервал подходит.
• При $ x \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}) $, например $ x=0.7\pi $: $ \cos(1.4\pi) < 0 $ и $ \cos(0.7\pi) < -\frac{1}{2} $, значит $ 2\cos x+1 < 0 $. Произведение $ (-)(-) > 0 $.
• При $ x \in (\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}) $, например $ x=\pi $: $ f(\pi) = \cos(2\pi)(2\cos\pi+1) = (1)(2(-1)+1) < 0 $. Интервал подходит.
• При $ x \in (\frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3}) $, например $ x=1.3\pi $: $ 2x \in (2.5\pi, 2.66\pi) \implies \cos(2x)<0 $. $ x \in (1.25\pi, 1.33\pi) \implies \cos x < -\frac{1}{2} \implies 2\cos x+1<0 $. Произведение $ (-)(-) > 0 $.
• При $ x \in (\frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{4}) $, например $ x=\frac{3\pi}{2} $: $ f(\frac{3\pi}{2}) = \cos(3\pi)(2\cos\frac{3\pi}{2}+1) = (-1)(0+1) < 0 $. Интервал подходит.
• При $ x \in (\frac{7\pi}{4}, 2\pi) $, например $ x=1.8\pi $: $ \cos(3.6\pi) > 0 $ и $ \cos(1.8\pi) > -\frac{1}{2} $. Произведение $ (+)(+) > 0 $.

Объединяя найденные интервалы и учитывая периодичность ($ 2\pi $), получаем решение.

Ответ: $ x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k\right) \right) $.

2) Решим неравенство $ \cos x \cos 3x \le 0,5 \cos 2x $.

Используем формулу произведения косинусов $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) $ для левой части неравенства:

$ \cos x \cos 3x = \frac{1}{2}(\cos(x+3x) + \cos(3x-x)) = \frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(2x)) $.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$ \frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(2x)) \le 0,5 \cos 2x $.

Умножим обе части на 2:

$ \cos(4x) + \cos(2x) \le \cos 2x $.

Вычтем $ \cos(2x) $ из обеих частей:

$ \cos(4x) \le 0 $.

Решим это простое тригонометрическое неравенство. Косинус неположителен во второй и третьей четвертях, то есть когда его аргумент находится в промежутке $ [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 4x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k $.

Разделим все части неравенства на 4, чтобы найти $ x $:

$ \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} \le x \le \frac{3\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} $.

$ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $.

Ответ: $ x \in \left[\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right], k \in \mathbb{Z} $.