Номер 21.17, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*21.17. Решите неравенство $\sin(2\pi\cos x) < 0$.

Для решения данного неравенства введем замену. Пусть $t = 2\pi\cos x$. Тогда неравенство принимает вид $\sin(t) < 0$.

Функция синуса отрицательна на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$ или, в более удобной форме, $(-\pi + 2\pi k, 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, мы получаем двойное неравенство для $t$:

$-\pi + 2\pi k < t < 2\pi k$

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = 2\pi\cos x$:

$-\pi + 2\pi k < 2\pi\cos x < 2\pi k$

Разделим все части неравенства на $2\pi$ (это положительное число, поэтому знаки неравенства не меняются):

$-\frac{1}{2} + k < \cos x < k$

Нам известно, что область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$. Рассмотрим, при каких целых значениях $k$ полученное двойное неравенство будет иметь решения.

1. При $k = 0$: получаем неравенство $-\frac{1}{2} < \cos x < 0$. Этот интервал полностью лежит внутри отрезка $[-1, 1]$, значит, решения есть.

2. При $k = 1$: получаем неравенство $-\frac{1}{2} + 1 < \cos x < 1$, то есть $\frac{1}{2} < \cos x < 1$. Этот интервал также полностью лежит внутри отрезка $[-1, 1]$, значит, решения есть.

3. При $k = -1$: получаем $-\frac{3}{2} < \cos x < -1$. Решений нет, так как $\cos x$ не может быть меньше $-1$.

4. При $k = 2$: получаем $\frac{3}{2} < \cos x < 2$. Решений нет, так как $\cos x$ не может быть больше $1$.

При других целых значениях $k$ интервалы для $\cos x$ также будут выходить за пределы отрезка $[-1, 1]$. Таким образом, нам необходимо найти объединение решений двух неравенств:

a) $-\frac{1}{2} < \cos x < 0$

б) $\frac{1}{2} < \cos x < 1$

Решим каждое из них. Для этого воспользуемся единичной тригонометрической окружностью.

Для неравенства $-\frac{1}{2} < \cos x < 0$ решениями являются дуги во второй и третьей четвертях. Это соответствует интервалам:

$x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для неравенства $\frac{1}{2} < \cos x < 1$ решениями являются дуги в первой и четвертой четвертях. Это соответствует интервалам:

$x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 0 + 2\pi n\right) \cup \left(0 + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Мы исключили точку $x=2\pi n$, так как в ней $\cos x = 1$, а неравенство строгое.

Объединив все найденные интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 0 + 2\pi n\right) \cup \left(0 + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right) \cup \left(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.