Номер 21.22, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*21.22. Найдите период функции:

1) $y = \{2x\} + \tan(2\pi x);$

2) $y = \cot(6x) - \sin(3x);$

3) $y = 2\{x\} + \cos(4\pi x);$

4) $y = \left\{\frac{x}{3}\right\} + 2\cot\frac{\pi x}{3}.$

1) $y = \{2x\} + \operatorname{tg}2\pi x$

Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \{2x\}$ и $f_2(x) = \operatorname{tg}2\pi x$.

Найдем период каждой из них.

Функция $\{u\}$ (дробная часть числа) имеет основной период 1. Период функции $\{kx\}$ равен $T = \frac{1}{|k|}$.

Для функции $f_1(x) = \{2x\}$ коэффициент $k=2$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{1}{2}$.

Функция $\operatorname{tg} u$ имеет основной период $\pi$. Период функции $\operatorname{tg}kx$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для функции $f_2(x) = \operatorname{tg}2\pi x$ коэффициент $k=2\pi$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$.

Период суммы двух функций с одинаковым периодом равен этому периоду. В нашем случае $T_1 = T_2 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y$ равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $y = \operatorname{ctg}6x - \sin3x$

Данная функция является разностью двух периодических функций: $f_1(x) = \operatorname{ctg}6x$ и $f_2(x) = \sin3x$.

Найдем период каждой из них.

Функция $\operatorname{ctg} u$ имеет основной период $\pi$. Период функции $\operatorname{ctg}kx$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$.

Для функции $f_1(x) = \operatorname{ctg}6x$ коэффициент $k=6$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{\pi}{6}$.

Функция $\sin u$ имеет основной период $2\pi$. Период функции $\sin kx$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $f_2(x) = \sin3x$ коэффициент $k=3$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.

Период суммы (разности) двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3})$.

Чтобы найти НОК, найдем такие наименьшие натуральные числа $n_1$ и $n_2$, что $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$.

$n_1 \frac{\pi}{6} = n_2 \frac{2\pi}{3} \implies \frac{n_1}{6} = \frac{2n_2}{3} \implies n_1 = 4n_2$.

Наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, это $n_2 = 1$ и $n_1 = 4$.

Тогда $T = 1 \cdot T_2 = \frac{2\pi}{3}$. (Проверка: $T = 4 \cdot T_1 = 4 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$).

Таким образом, наименьший положительный период функции $y$ равен $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

3) $y = 2\{x\} + \cos4\pi x$

Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = 2\{x\}$ и $f_2(x) = \cos4\pi x$.

Найдем период каждой из них.

Функция $\{x\}$ имеет основной период 1. Умножение на константу 2 не изменяет период. Таким образом, период функции $f_1(x) = 2\{x\}$ равен $T_1 = 1$.

Функция $\cos u$ имеет основной период $2\pi$. Период функции $\cos kx$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $f_2(x) = \cos4\pi x$ коэффициент $k=4\pi$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.

Период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, \frac{1}{2})$.

Нужно найти такое наименьшее число $T$, которое целое число раз содержит в себе и 1, и $\frac{1}{2}$.

Очевидно, что $T=1$. $1 = 1 \cdot T_1$ и $1 = 2 \cdot T_2$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y$ равен $1$.

Ответ: $1$.

4) $y = \{\frac{x}{3}\} + 2\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}$

Данная функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \{\frac{x}{3}\}$ и $f_2(x) = 2\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}$.

Найдем период каждой из них.

Функция $\{u\}$ имеет основной период 1. Период функции $\{kx\}$ равен $T = \frac{1}{|k|}$.

Для функции $f_1(x) = \{\frac{x}{3}\}$ коэффициент $k=\frac{1}{3}$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{1}{1/3} = 3$.

Функция $\operatorname{ctg} u$ имеет основной период $\pi$. Период функции $\operatorname{ctg}kx$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Умножение на константу 2 не изменяет период.

Для функции $f_2(x) = 2\operatorname{ctg}\frac{\pi x}{3}$ коэффициент $k=\frac{\pi}{3}$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{\pi}{\pi/3} = 3$.

Период суммы двух функций с одинаковым периодом равен этому периоду. В нашем случае $T_1 = T_2 = 3$.

Таким образом, наименьший положительный период функции $y$ равен $3$.

Ответ: $3$.