Номер 7, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Неравенство $\cot 3x \ge -1$ верно на множестве:

A) $(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{3}; -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$;

B) $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$;

C) $(\frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$;

D) $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}; \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$.

Для решения тригонометрического неравенства $ctg(3x) \ge -1$ выполним следующие шаги:

1. Введение замены переменной.

Пусть $t = 3x$. Тогда исходное неравенство принимает вид:$ctg(t) \ge -1$.

2. Решение неравенства для новой переменной $t$.

Область определения функции котангенса $y = ctg(t)$ задается условием $t \ne \pi n$, где $n \in Z$.

Период функции котангенс равен $\pi$. Решим неравенство на одном из периодов, например, на интервале $(0, \pi)$.

На этом интервале функция $y = ctg(t)$ является монотонно убывающей.

Сначала найдем значение $t$, при котором выполняется равенство $ctg(t) = -1$.$t = arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4}$.

Поскольку функция $ctg(t)$ убывает, неравенство $ctg(t) \ge -1$ будет выполняться для всех значений $t$, которые меньше или равны $\frac{3\pi}{4}$.

С учетом области определения на интервале $(0, \pi)$, получаем решение для $t$:$0 < t \le \frac{3\pi}{4}$.

Теперь обобщим это решение, добавив период $\pi k$, где $k \in Z$:$\pi k < t \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

3. Обратная замена.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = 3x$ в полученное двойное неравенство:$\pi k < 3x \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

4. Нахождение решения для $x$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:$\frac{\pi k}{3} < x \le \frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$.

Упростив выражение, получим:$\frac{\pi k}{3} < x \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$.

Таким образом, множество решений неравенства — это объединение интервалов вида $(\frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}]$, где $k \in Z$.

5. Выбор правильного варианта.

Сравнив полученное решение с предложенными вариантами, видим, что оно полностью совпадает с вариантом C).

Ответ: C) $(\frac{\pi k}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}]$, $k \in Z$.