Вопросы, страница 175, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

2. В каких случаях используется: 1) правило суммы; 2) правило произведения?

3. Является ли способ перебора способом решения комбинаторных задач?

4. В каких случаях способ перебора использовать нецелесообразно, в каких — целесообразно?

1. Приведите пример комбинаторной задачи.

Комбинаторная задача — это задача, в которой требуется подсчитать количество различных способов выполнения некоторого действия или составления некоторой комбинации объектов, удовлетворяющих определенным условиям.

Пример: Сколькими способами можно выбрать команду из 3 человек для участия в олимпиаде, если в классе 10 учеников?

Решение:Это задача на нахождение числа сочетаний, так как порядок выбора учеников не важен. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.В нашем случае $n=10$ (всего учеников), а $k=3$ (размер команды).Подставляем значения в формулу:$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$.Таким образом, существует 120 способов составить команду.

Ответ: Примером комбинаторной задачи является подсчет количества способов выбора группы объектов из большего множества, например, сколькими способами можно выбрать 3 учеников из 10.

2. В каких случаях используется: 1) правило суммы; 2) правило произведения?

1) Правило суммы используется, когда необходимо выбрать один объект из нескольких взаимоисключающих наборов. Ключевым словом, указывающим на применение этого правила, является союз «ИЛИ». Если объект A можно выбрать $m$ способами, а объект B можно выбрать $n$ способами, и выборы A и B несовместимы (нельзя выбрать одновременно и A, и B), то выбрать «либо A, либо B» можно $m + n$ способами.

Пример: В магазине на полке стоит 7 разных романов и 5 разных сборников стихов. Сколькими способами можно выбрать одну книгу?

Решение: Можно выбрать роман (7 способов) ИЛИ сборник стихов (5 способов). Выбор является взаимоисключающим. Общее число способов равно $7 + 5 = 12$.

2) Правило произведения используется, когда необходимо выполнить последовательность из нескольких независимых действий. Ключевым словом является союз «И». Если первое действие можно выполнить $m$ способами, и после каждого из этих способов второе действие можно выполнить $n$ способами, то всю последовательность из двух действий можно выполнить $m \times n$ способами.

Пример: У Маши есть 4 разные блузки и 3 разные юбки. Сколько различных комплектов одежды она может составить?

Решение: Чтобы составить комплект, нужно выбрать блузку (4 способа) И юбку (3 способа). Эти выборы независимы. Общее число комплектов равно $4 \times 3 = 12$.

Ответ: Правило суммы используется для подсчета способов выбора одного из взаимоисключающих вариантов (логическое «ИЛИ»), а правило произведения — для подсчета способов выполнения последовательности действий (логическое «И»).

3. Является ли способ перебора способом решения комбинаторных задач?

Да, безусловно. Способ прямого перебора всех возможных вариантов является одним из основных и наиболее интуитивно понятных методов решения комбинаторных задач. Он заключается в систематическом составлении списка всех возможных комбинаций, удовлетворяющих условиям задачи, и последующем их подсчете.

Этот метод особенно полезен для решения простых задач, а также для проверки правильности применения более сложных формул. Визуализировать процесс перебора часто помогает «дерево вариантов». Многие комбинаторные формулы (например, для перестановок и сочетаний) являются обобщениями, выведенными из анализа результатов, полученных методом перебора.

Ответ: Да, способ перебора является одним из фундаментальных методов решения комбинаторных задач.

4. В каких случаях способ перебора использовать нецелесообразно, в каких — целесообразно?

Целесообразно использовать способ перебора, когда общее количество возможных вариантов относительно невелико. В таких ситуациях этот метод имеет преимущества:

- Он нагляден и помогает понять структуру задачи.

- Он не требует знания сложных формул и является надежным способом найти правильный ответ.

- Его можно использовать для проверки результатов, полученных аналитически.

Пример: Сколькими способами можно составить расписание из двух разных уроков (математика и физика) на понедельник? Вариантов всего два: (1. Математика, 2. Физика) и (1. Физика, 2. Математика). Их легко перебрать и посчитать.

Нецелесообразно использовать способ перебора, когда количество вариантов очень велико. С ростом числа элементов количество комбинаций может расти чрезвычайно быстро (это явление называют «комбинаторным взрывом»), и полный перебор становится трудоемким или даже невозможным за разумное время, даже с помощью самых мощных компьютеров.

Пример: Найти количество возможных последовательностей ходов для выигрыша в шахматах или число способов перетасовать колоду из 52 карт. Количество вариантов в последнем случае равно $52!$ (52 факториал), что примерно равно $8 \times 10^{67}$. Полный перебор таких вариантов невыполним. В таких задачах необходимо использовать общие комбинаторные принципы и формулы.

Ответ: Способ перебора целесообразен при малом числе вариантов, так как он прост и нагляден. Он нецелесообразен при большом числе вариантов из-за огромной трудоемкости, и в таких случаях следует применять комбинаторные формулы.