Номер 10, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10. Неравенство $|\sin x| \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ верно на множестве:

A) $[\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, $k \in Z$;

B) $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in Z$;

C) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$, $k \in Z$;

D) $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in Z$.

Для решения неравенства $|\sin x| \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ необходимо раскрыть модуль. Неравенство с модулем равносильно следующему двойному неравенству:

$$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решение этого неравенства можно найти с помощью единичной окружности. Мы ищем углы $x$, для которых ордината (значение синуса) точки на окружности находится в диапазоне от $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ до $\frac{\sqrt{2}}{2}$ включительно.Это соответствует двум дугам на единичной окружности: от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$ и от $\frac{3\pi}{4}$ до $\frac{5\pi}{4}$.Учитывая периодичность функции синус, общее решение можно записать в виде объединения двух семейств интервалов:$x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n] \cup [\frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.Эти два семейства интервалов можно объединить в одну формулу, заметив, что они повторяются с периодом $\pi$:$x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.Теперь проанализируем предложенные варианты ответов.

A) $[\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим интервал при $k=0$: $[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = \frac{\pi}{2}$. Подставим в исходное неравенство: $|\sin(\frac{\pi}{2})| = |1| = 1$. Проверяем условие: $1 \le \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это неравенство неверно. Данное множество является решением неравенства $|\sin x| \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: неверно.

B) $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$

Мы знаем, что $x = -\frac{\pi}{4}$ является решением, так как $|\sin(-\frac{\pi}{4})| = |-\frac{\sqrt{2}}{2}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и выполняется условие $\le \frac{\sqrt{2}}{2}$. Однако, значение $x = -\frac{\pi}{4}$ не принадлежит множеству, предложенному в этом варианте, так как $-\frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{6}$. Кроме того, период решения равен $\pi$, а не $2\pi$.

Ответ: неверно.

C) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$

Это множество в точности совпадает с решением, полученным нами ранее.При четных $k$ (например, $k=2n$) получаем интервалы $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} + 2\pi n]$.При нечетных $k$ (например, $k=2n+1$) получаем интервалы $[-\frac{\pi}{4} + (2n+1)\pi, \frac{\pi}{4} + (2n+1)\pi] = [\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n]$.Объединение этих интервалов представляет собой полное решение исходного неравенства.

Ответ: верно.

D) $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$

Этот вариант является подмножеством варианта А. Как мы уже показали для варианта А, на этом интервале (за исключением его границ) выполняется неравенство $|\sin x| > \frac{\sqrt{2}}{2}$. Например, при $x = \frac{\pi}{2}$ (при $k=0$), $|\sin x| = 1$, что больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: неверно.