Номер 9, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9. Неравенство $\arccos(x-2) < \frac{\pi}{4}$ верно на множестве:

A) (-1,5; $-2 + \frac{\sqrt{2}}{4}$);

B) [-1,5; $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$; 3];

C) [1; $\sqrt{2}$);

D) ($2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$; 3].

Для решения неравенства $arccos(x - 2) < \frac{\pi}{4}$ необходимо сначала найти его область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить само неравенство.

Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Аргумент функции арккосинус, $x - 2$, должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-1 \le x - 2 \le 1$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства, чтобы выразить $x$:

$-1 + 2 \le x \le 1 + 2$

$1 \le x \le 3$

Таким образом, ОДЗ для данного неравенства — это множество $x \in [1; 3]$.

Решение неравенства

Рассмотрим неравенство $arccos(x - 2) < \frac{\pi}{4}$.

Область значений функции $y = arccos(t)$ — это отрезок $[0; \pi]$. Следовательно, значение $arccos(x - 2)$ всегда неотрицательно. Мы можем записать исходное неравенство в виде двойного неравенства:

$0 \le arccos(x - 2) < \frac{\pi}{4}$

Функция $y = cos(t)$ является убывающей на отрезке $[0; \pi]$. Применим косинус ко всем частям двойного неравенства. При применении убывающей функции знаки неравенства меняются на противоположные:

$cos(0) \ge cos(arccos(x - 2)) > cos(\frac{\pi}{4})$

Используя тождество $cos(arccos(a)) = a$ и значение $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$1 \ge x - 2 > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Снова прибавим 2 ко всем частям, чтобы найти $x$:

$1 + 2 \ge x > 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$3 \ge x > 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это соответствует интервалу $x \in (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 3]$.

Окончательное решение

Полученное множество $x \in (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 3]$ полностью входит в найденную ранее ОДЗ $x \in [1; 3]$, так как $1 < 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} < 3$. Следовательно, это и есть окончательное решение неравенства.

Сравнивая результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом D.

Ответ: D) $(2+\frac{\sqrt{2}}{2}; 3]$.