Номер 4, страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Проверь себя!. Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Часть 1 - номер 4, страница 171.

Условие.

4. Число целых решений неравенства $2\cos x > -\sqrt{3}$ из промежутка $[-\pi; \pi]$ равно:

A) 2;

B) 3;

C) 4;

D) 5.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо найти все целые числа $x$ из промежутка $[-\pi; \pi]$, которые удовлетворяют неравенству $2\cos x > -\sqrt{3}$.

1. Упростим неравенство.

Разделим обе части неравенства $2\cos x > -\sqrt{3}$ на 2, получим:

$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. Найдем решение тригонометрического неравенства на заданном промежутке.

Сначала найдем корни уравнения $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\pi; \pi]$. Этими корнями являются $x = -\frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Неравенству $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\pi; \pi]$ удовлетворяют все значения $x$, для которых соответствующая точка на единичной окружности лежит правее прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, решение неравенства на промежутке $[-\pi; \pi]$ есть интервал $x \in (-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.

3. Найдем целые числа в полученном интервале.

Теперь определим, какие целые числа содержатся в интервале $(-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$. Для этого оценим границы интервала, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$-\frac{5\pi}{6} \approx -\frac{5 \times 3.14159}{6} \approx -2.618$

$\frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \times 3.14159}{6} \approx 2.618$

Мы ищем целые числа $x$ такие, что $-2.618 < x < 2.618$.

Этому условию удовлетворяют следующие целые числа: -2, -1, 0, 1, 2.

4. Подсчитаем количество решений.

Всего получилось 5 целых решений.

Ответ: 5.