Номер 21.19, страница 170, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*21.19. Решите неравенство способом введения новой переменной.

1) $4\sin x + \frac{3}{\sin x} > 8;$

2) $4\cos x - \frac{5}{\cos x} > 8.$

1) Решим неравенство $4\sin x + \frac{3}{\sin x} > 8$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \sin x$. Учитывая свойства функции синус и ОДЗ, имеем $t \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Неравенство принимает вид: $4t + \frac{3}{t} > 8$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$4t + \frac{3}{t} - 8 > 0$

$\frac{4t^2 - 8t + 3}{t} > 0$

Найдем корни числителя, решив уравнение $4t^2 - 8t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{8 - 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, неравенство можно записать в виде $\frac{4(t - \frac{1}{2})(t - \frac{3}{2})}{t} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $t=0, t=1/2, t=3/2$. Они разбивают числовую прямую на интервалы. Проверив знак выражения на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $t \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$.

Теперь учтем ограничение на переменную $t$: $t \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Найдем пересечение множества решений $(0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$ с областью допустимых значений для $t$ $[-1, 0) \cup (0, 1]$.

Пересечением является интервал $t \in (0, \frac{1}{2})$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $0 < \sin x < \frac{1}{2}$.

Решая это двойное тригонометрическое неравенство на единичной окружности, находим интервалы, где ордината точки находится между 0 и 1/2. Это соответствует двум сериям решений:

$2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $4\cos x - \frac{5}{\cos x} > 8$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Введем новую переменную. Пусть $t = \cos x$. Учитывая свойства функции косинус и ОДЗ, имеем $t \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Неравенство принимает вид: $4t - \frac{5}{t} > 8$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$4t - \frac{5}{t} - 8 > 0$

$\frac{4t^2 - 8t - 5}{t} > 0$

Найдем корни числителя, решив уравнение $4t^2 - 8t - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$.

Таким образом, неравенство можно записать в виде $\frac{4(t + \frac{1}{2})(t - \frac{5}{2})}{t} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки: $t=-1/2, t=0, t=5/2$. Они разбивают числовую прямую на интервалы. Проверив знак выражения на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $t \in (-\frac{1}{2}, 0) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$.

Теперь учтем ограничение на переменную $t$: $t \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Найдем пересечение множества решений $(-\frac{1}{2}, 0) \cup (\frac{5}{2}, +\infty)$ с областью допустимых значений для $t$ $[-1, 0) \cup (0, 1]$.

Пересечением является интервал $t \in (-\frac{1}{2}, 0)$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $-\frac{1}{2} < \cos x < 0$.

Решая это двойное тригонометрическое неравенство на единичной окружности, находим интервалы, где абсцисса точки находится между -1/2 и 0. Это соответствует двум сериям решений:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.