Номер 21.13, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.13. Найдите решение неравенства:

1) $\sqrt{2}(\sin2x - \cos x) + 2\sin x > 1$, если $x \in [0; \pi];$

2) $\sqrt{2}(\sin2x + \sin x) - 2\cos x \le 1$, если $x \in [0; \pi].$

1) Решим неравенство $\sqrt{2}(\sin2x - \cos x) + 2\sin x > 1$ при условии $x \in [0; \pi]$.

Сначала преобразуем неравенство. Используем формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$:

$\sqrt{2}(2\sin x \cos x - \cos x) + 2\sin x > 1$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$2\sqrt{2}\sin x \cos x - \sqrt{2}\cos x + 2\sin x - 1 > 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$\sqrt{2}\cos x (2\sin x - 1) + 1 \cdot (2\sin x - 1) > 0$

$(2\sin x - 1)(\sqrt{2}\cos x + 1) > 0$

Произведение двух выражений положительно, если оба выражения имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны). Рассмотрим два случая.

Случай а) Оба множителя положительны:

$\begin{cases} 2\sin x - 1 > 0 \\ \sqrt{2}\cos x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x > \frac{1}{2} \\ \cos x > -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x > \frac{1}{2} \\ \cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

На отрезке $[0; \pi]$ решение первого неравенства $\sin x > \frac{1}{2}$ есть интервал $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$.

На том же отрезке решение второго неравенства $\cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ есть интервал $x \in [0, \frac{3\pi}{4})$.

Пересечение этих двух множеств дает нам решение для первого случая: $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4})$.

Случай б) Оба множителя отрицательны:

$\begin{cases} 2\sin x - 1 < 0 \\ \sqrt{2}\cos x + 1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x < \frac{1}{2} \\ \cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$

На отрезке $[0; \pi]$ решение первого неравенства $\sin x < \frac{1}{2}$ есть объединение интервалов $x \in [0, \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{5\pi}{6}, \pi]$.

На том же отрезке решение второго неравенства $\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ есть интервал $x \in (\frac{3\pi}{4}, \pi]$.

Пересечение этих двух множеств дает нам решение для второго случая: $x \in (\frac{5\pi}{6}, \pi]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое решение неравенства.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\frac{5\pi}{6}, \pi]$.

2) Решим неравенство $\sqrt{2}(\sin2x + \sin x) - 2\cos x \leq 1$ при условии $x \in [0; \pi]$.

Преобразуем неравенство, используя формулу $\sin2x = 2\sin x \cos x$ и перенеся все в левую часть:

$\sqrt{2}(2\sin x \cos x + \sin x) - 2\cos x - 1 \leq 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$\sqrt{2}\sin x (2\cos x + 1) - 1 \cdot (2\cos x + 1) \leq 0$

$(\sqrt{2}\sin x - 1)(2\cos x + 1) \leq 0$

Произведение двух выражений неположительно, если множители имеют разные знаки или один из них равен нулю. Рассмотрим два случая.

Случай а) Первый множитель неположителен, а второй неотрицателен:

$\begin{cases} \sqrt{2}\sin x - 1 \le 0 \\ 2\cos x + 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x \le \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos x \ge -\frac{1}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos x \ge -\frac{1}{2} \end{cases}$

На отрезке $[0; \pi]$ решение первого неравенства $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ есть объединение $x \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \pi]$.

На том же отрезке решение второго неравенства $\cos x \ge -\frac{1}{2}$ есть отрезок $x \in [0, \frac{2\pi}{3}]$.

Пересечение этих множеств: $([0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \pi]) \cap [0, \frac{2\pi}{3}]$ дает нам решение для первого случая: $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$.

Случай б) Первый множитель неотрицателен, а второй неположителен:

$\begin{cases} \sqrt{2}\sin x - 1 \ge 0 \\ 2\cos x + 1 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos x \le -\frac{1}{2} \end{cases}$

На отрезке $[0; \pi]$ решение первого неравенства $\sin x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ есть отрезок $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.

На том же отрезке решение второго неравенства $\cos x \le -\frac{1}{2}$ есть отрезок $x \in [\frac{2\pi}{3}, \pi]$.

Пересечение этих множеств: $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}] \cap [\frac{2\pi}{3}, \pi]$ дает нам решение для второго случая: $x \in [\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое решение неравенства.

Ответ: $x \in [0, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}]$.