Номер 21.8, страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.8. Методом понижения степени решите неравенство:

1) $ \sin^2x \le 0,5; $

2) $ \cos^2x \ge 0,5; $

3) $ \sin^2x \ge 1; $

4) $ \cos^2x < 1. $

1) $ \sin^2 x \le 0,5 $

Для решения данного неравенства применим метод понижения степени, используя формулу $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $.

Подставим эту формулу в исходное неравенство:

$ \frac{1 - \cos(2x)}{2} \le 0,5 $

Умножим обе части неравенства на 2:

$ 1 - \cos(2x) \le 1 $

Вычтем 1 из обеих частей:

$ -\cos(2x) \le 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \cos(2x) \ge 0 $

Теперь решим простейшее тригонометрическое неравенство $ \cos(t) \ge 0 $, где $ t = 2x $. Функция косинуса неотрицательна в I и IV четвертях, поэтому решение для $ t $ имеет вид:

$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Произведем обратную замену $ t = 2x $:

$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Разделим все части двойного неравенства на 2, чтобы найти $ x $:

$ -\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ [-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in Z $.

2) $ \cos^2 x \ge 0,5 $

Для решения этого неравенства используем формулу понижения степени для косинуса: $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $.

Подставим формулу в неравенство:

$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} \ge 0,5 $

Умножим обе части на 2:

$ 1 + \cos(2x) \ge 1 $

Вычтем 1 из обеих частей:

$ \cos(2x) \ge 0 $

Данное неравенство идентично тому, что было получено в пункте 1. Его решением является:

$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Разделим все части на 2, чтобы выразить $ x $:

$ -\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + \pi k $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ [-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \pi k], k \in Z $.

3) $ \sin^2 x \ge 1 $

Мы знаем, что область значений функции $ \sin x $ — это отрезок $ [-1, 1] $, следовательно, область значений $ \sin^2 x $ — это отрезок $ [0, 1] $. Неравенство $ \sin^2 x \ge 1 $ может выполняться только в случае равенства $ \sin^2 x = 1 $. Тем не менее, решим его методом понижения степени, используя формулу $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $.

Подставляем в неравенство:

$ \frac{1 - \cos(2x)}{2} \ge 1 $

Умножим обе части на 2:

$ 1 - \cos(2x) \ge 2 $

Перенесем 1 в правую часть:

$ -\cos(2x) \ge 1 $

Умножим на -1 с изменением знака неравенства:

$ \cos(2x) \le -1 $

Так как наименьшее значение функции косинус равно -1, это неравенство эквивалентно уравнению $ \cos(2x) = -1 $.

Решением этого уравнения является:

$ 2x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Разделим обе части на 2:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $.

4) $ \cos^2 x < 1 $

Применим формулу понижения степени $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $.

Подставим в неравенство:

$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} < 1 $

Умножим обе части на 2:

$ 1 + \cos(2x) < 2 $

Вычтем 1 из обеих частей:

$ \cos(2x) < 1 $

Функция косинус принимает значение 1, но никогда не превышает его. Таким образом, неравенство $ \cos(2x) < 1 $ выполняется для всех значений аргумента, кроме тех, при которых $ \cos(2x) = 1 $.

Найдем значения $ x $, которые нужно исключить, решив уравнение $ \cos(2x) = 1 $:

$ 2x = 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Разделим обе части на 2:

$ x = \pi k $, где $ k \in Z $.

Следовательно, решением исходного неравенства являются все действительные числа, кроме $ x = \pi k $.

Ответ: $ x \ne \pi k, k \in Z $.