Номер 21.3, страница 168, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21.3.

1) $tgx > \frac{\sqrt{3}}{3}$;

2) $tgx < -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

3) $tgx \geq \sqrt{3}$;

4) $tgx \geq -1$.

1) Для решения неравенства $ \text{tg } x > \frac{\sqrt{3}}{3} $ сначала найдём угол, тангенс которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Это $ x = \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6} $. Функция $ \text{tg } x $ является возрастающей на своём основном периоде $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $. Неравенству удовлетворяют все значения $ x $, которые больше $ \frac{\pi}{6} $, но меньше, чем правая граница периода, где находится асимптота, то есть $ \frac{\pi}{2} $. Таким образом, на одном периоде решение имеет вид $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} $. Учитывая, что период тангенса равен $ \pi $, общее решение записывается как $ \frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left(\frac{\pi}{6} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.

2) Для решения неравенства $ \text{tg } x < -\frac{\sqrt{3}}{3} $ найдём угол, тангенс которого равен $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Это $ x = \text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} $. Так как функция $ \text{tg } x $ возрастающая, неравенству удовлетворяют значения $ x $, которые меньше $ -\frac{\pi}{6} $, но больше левой границы периода, то есть $ -\frac{\pi}{2} $. Таким образом, на одном периоде решение: $ -\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{6} $. Общее решение с учётом периода $ \pi $: $ -\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\frac{\pi}{6} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{6} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.

3) Для решения неравенства $ \text{tg } x \ge \sqrt{3} $ найдём опорное значение $ x = \text{arctg}\left(\sqrt{3}\right) = \frac{\pi}{3} $. Неравенство нестрогое, поэтому это значение включается в решение. Решением являются все значения $ x $, которые больше или равны $ \frac{\pi}{3} $, но меньше асимптоты $ \frac{\pi}{2} $. На одном периоде получаем $ \frac{\pi}{3} \le x < \frac{\pi}{2} $. Общее решение с учётом периода $ \pi $: $ \frac{\pi}{3} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left[\frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.

4) Для решения неравенства $ \text{tg } x \ge -1 $ найдём опорное значение $ x = \text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $. Так как неравенство нестрогое, это значение является частью решения. Решением являются все значения $ x $, которые больше или равны $ -\frac{\pi}{4} $, но меньше асимптоты $ \frac{\pi}{2} $. На одном периоде получаем $ -\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2} $. Общее решение с учётом периода $ \pi $: $ -\frac{\pi}{4} + \pi k \le x < \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in \left[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.