Задания, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Используя рисунок 21.1, решите неравенство $\sin x < -\frac{1}{2}$ двумя способами: с помощью графика и с помощью единичной окружности.

с помощью графика

Для решения неравенства $\sin x < -\frac{1}{2}$ графическим способом необходимо построить в одной системе координат график функции $y = \sin x$ (синусоиду) и график функции $y = -\frac{1}{2}$ (горизонтальную прямую). Решениями неравенства будут являться те промежутки по оси $x$, на которых график синуса расположен ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$.

Сначала найдем точки пересечения этих двух графиков, решив уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$.

Общее решение этого уравнения записывается в виде совокупности двух серий:

$x = \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим один период синусоиды. Например, при $k=0$ получаем точки пересечения $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$. Чтобы найти интервал, на котором синусоида находится ниже прямой, можно взять точку $x_A = \frac{7\pi}{6}$ и следующую за ней точку из первой серии, например, при $k=1$, $x_B = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. На интервале $(\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$ график $y=\sin x$ лежит ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$.

Для более удобной записи решения можно представить левую границу интервала с помощью отрицательного угла: $\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$. Тогда основной интервал решения будет $(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6})$.

Поскольку функция $y=\sin x$ периодическая с периодом $2\pi$, то общее решение неравенства получается добавлением $2\pi k$ к границам найденного интервала.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

с помощью единичной окружности

Для решения неравенства $\sin x < -\frac{1}{2}$ с помощью единичной окружности нужно найти все точки на окружности, ордината (координата $y$) которых меньше $y = -\frac{1}{2}$.

Сначала отметим на оси ординат точку $y = -\frac{1}{2}$ и проведем через нее горизонтальную прямую. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, которые мы обозначим $A$ и $B$. Эти точки соответствуют углам, для которых $\sin x = -\frac{1}{2}$.

Найдем эти углы. Точка $B$ находится в IV четверти и соответствует углу $x_1 = -\frac{\pi}{6}$. Точка $A$ находится в III четверти и соответствует углу $x_2 = -\frac{5\pi}{6}$ (или $\frac{7\pi}{6}$).

Неравенству $\sin x < -\frac{1}{2}$ соответствуют все точки на дуге единичной окружности, расположенной ниже прямой $y = -\frac{1}{2}$. При движении по окружности против часовой стрелки эта дуга начинается в точке $A$ ($-\frac{5\pi}{6}$) и заканчивается в точке $B$ ($-\frac{\pi}{6}$).

Таким образом, искомые значения $x$ лежат в интервале $(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6})$.

Учитывая периодичность синуса (полный оборот по окружности составляет $2\pi$), общее решение неравенства можно записать, прибавив $2\pi k$ к концам интервала.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.