Задания, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Используя рисунок 21.1, решите неравенство $\sin x < -\frac{1}{2}$ двумя способами: с помощью графика и с помощью единичной окружности.

с помощью графика

Для решения неравенства `$\sin x < -\frac{1}{2}$` графическим способом необходимо построить в одной системе координат график функции `$y = \sin x$` (синусоиду) и график функции `$y = -\frac{1}{2}$` (горизонтальную прямую). Решениями неравенства будут являться те промежутки по оси `$x$`, на которых график синуса расположен ниже прямой `$y = -\frac{1}{2}$`.

Сначала найдем точки пересечения этих двух графиков, решив уравнение `$\sin x = -\frac{1}{2}$`.

Общее решение этого уравнения записывается в виде совокупности двух серий:

`$x = \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$`

`$x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$`

Рассмотрим один период синусоиды. Например, при `$k=0$` получаем точки пересечения `$x = -\frac{\pi}{6}$` и `$x = \frac{7\pi}{6}$`. Чтобы найти интервал, на котором синусоида находится ниже прямой, можно взять точку `$x_A = \frac{7\pi}{6}$` и следующую за ней точку из первой серии, например, при `$k=1$`, `$x_B = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$`. На интервале `$(\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$` график `$y=\sin x$` лежит ниже прямой `$y = -\frac{1}{2}$`.

Для более удобной записи решения можно представить левую границу интервала с помощью отрицательного угла: `$\frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$`. Тогда основной интервал решения будет `$(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6})$`.

Поскольку функция `$y=\sin x$` периодическая с периодом `$2\pi$`, то общее решение неравенства получается добавлением `$2\pi k$` к границам найденного интервала.

Ответ: `$x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$`.

с помощью единичной окружности

Для решения неравенства `$\sin x < -\frac{1}{2}$` с помощью единичной окружности нужно найти все точки на окружности, ордината (координата `$y$`) которых меньше `$y = -\frac{1}{2}$`.

Сначала отметим на оси ординат точку `$y = -\frac{1}{2}$` и проведем через нее горизонтальную прямую. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках, которые мы обозначим `$A$` и `$B$`. Эти точки соответствуют углам, для которых `$\sin x = -\frac{1}{2}$`.

Найдем эти углы. Точка `$B$` находится в IV четверти и соответствует углу `$x_1 = -\frac{\pi}{6}$`. Точка `$A$` находится в III четверти и соответствует углу `$x_2 = -\frac{5\pi}{6}$` (или `$\frac{7\pi}{6}$`).

Неравенству `$\sin x < -\frac{1}{2}$` соответствуют все точки на дуге единичной окружности, расположенной ниже прямой `$y = -\frac{1}{2}$`. При движении по окружности против часовой стрелки эта дуга начинается в точке `$A$` (`$-\frac{5\pi}{6}$`) и заканчивается в точке `$B$` (`$-\frac{\pi}{6}$`).

Таким образом, искомые значения `$x$` лежат в интервале `$(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6})$`.

Учитывая периодичность синуса (полный оборот по окружности составляет `$2\pi$`), общее решение неравенства можно записать, прибавив `$2\pi k$` к концам интервала.

Ответ: `$x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$`.