Номер 20.20, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.20. Решите методом интервалов неравенство:

1) $(x - 4)(x + 3)(x - 2)^2 \ge 0;$

2) $(2x - 3)(x + 6)(3x - 2)^3 \le 0;$

3) $\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x + 3} \le \frac{1}{x + 1}.$

1) $(x-4)(x+3)(x-2)^2 \ge 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого сначала найдем нули функции $f(x) = (x-4)(x+3)(x-2)^2$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x-4=0 \Rightarrow x_1=4$ (корень нечетной кратности 1).

$x+3=0 \Rightarrow x_2=-3$ (корень нечетной кратности 1).

$(x-2)^2=0 \Rightarrow x-2=0 \Rightarrow x_3=2$ (корень четной кратности 2).

Отметим найденные нули на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), все точки будут закрашенными, то есть войдут в решение.

Точки $-3$, $2$ и $4$ разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; +\infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=5$:

$(5-4)(5+3)(5-2)^2 = 1 \cdot 8 \cdot 3^2 = 72$. Значение положительное, значит, на интервале $(4; +\infty)$ ставим знак «+».

Двигаясь справа налево, будем менять знак при переходе через корень нечетной кратности и сохранять знак при переходе через корень четной кратности.

При переходе через точку $x=4$ (нечетная кратность) знак меняется на «−». На интервале $(2; 4)$ знак «−».

При переходе через точку $x=2$ (четная кратность) знак не меняется. На интервале $(-3; 2)$ знак также «−».

При переходе через точку $x=-3$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». На интервале $(-\infty; -3)$ знак «+».

Нам нужно найти промежутки, где выражение больше или равно нулю ($f(x) \ge 0$). Это интервалы со знаком «+», а также все нули функции.

Решением является объединение промежутков $(-\infty; -3]$, $[4; +\infty)$ и изолированной точки $x=2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup \{2\} \cup [4; +\infty)$.

2) $(2x-3)(x+6)(3x-2)^3 \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения $g(x) = (2x-3)(x+6)(3x-2)^3$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$2x-3=0 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} = 1.5$ (корень нечетной кратности 1).

$x+6=0 \Rightarrow x_2 = -6$ (корень нечетной кратности 1).

$(3x-2)^3=0 \Rightarrow 3x-2=0 \Rightarrow x_3 = \frac{2}{3}$ (корень нечетной кратности 3).

Отметим точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-6$, $\frac{2}{3}$, $1.5$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому все точки включаются в решение.

Точки разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 1.5)$, $(1.5; +\infty)$.

Определим знак на крайнем правом интервале, взяв пробную точку $x=2$:

$(2\cdot2-3)(2+6)(3\cdot2-2)^3 = 1 \cdot 8 \cdot 4^3 > 0$. Знак «+».

Все корни имеют нечетную кратность, поэтому при переходе через каждую точку знак будет меняться.

Расставим знаки на интервалах справа налево: «+», «−», «+», «−».

Нам нужно найти промежутки, где выражение меньше или равно нулю ($g(x) \le 0$). Это интервалы со знаком «−», включая граничные точки.

Решением являются промежутки $(-\infty; -6]$ и $[\frac{2}{3}; 1.5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [\frac{2}{3}; 1.5]$.

3) $\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} \le \frac{1}{x+1}$

Для решения перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+1} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 3$, $x \ne -3$, $x \ne -1$.

Общий знаменатель равен $(x-3)(x+3)(x+1)$.

$\frac{2(x+3)(x+1) - 1(x-3)(x+1) - 1(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{2(x^2+4x+3) - (x^2-2x-3) - (x^2-9)}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{2x^2+8x+6 - x^2+2x+3 - x^2+9}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

$\frac{10x+18}{(x-3)(x+3)(x+1)} \le 0$

Теперь применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $10x+18=0 \Rightarrow x = -1.8$. Эта точка является решением, так как неравенство нестрогое.

Нули знаменателя: $x=3$, $x=-3$, $x=-1$. Эти точки не входят в ОДЗ, поэтому на числовой прямой они будут выколотыми.

Расположим точки на числовой прямой: $-3$, $-1.8$, $-1$, $3$.

Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, взяв $x=4$:

$\frac{10(4)+18}{(4-3)(4+3)(4+1)} = \frac{58}{1 \cdot 7 \cdot 5} > 0$. Знак «+».

Все нули (и числителя, и знаменателя) имеют кратность 1, поэтому знаки на интервалах чередуются: «+», «−», «+», «−», «+».

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «−».

Получаем промежутки $(-3; -1.8]$ (точка $-1.8$ включена) и $(-1; 3)$ (точки $-1$ и $3$ выколоты).

Ответ: $x \in (-3; -1.8] \cup (-1; 3)$.