Номер 20.15, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.15. Способом понижения степени решите уравнение:

1) $\cos^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x;$

2) $\sin^4 2x + \cos^4 2x - \frac{5}{8} = 0;$

3) $\sin^2 \frac{3x}{4} + \sin^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos^2 \frac{5x}{4} = \frac{3}{2};$

4) $\cos^2 \frac{x}{3} + \cos^2 \frac{4x}{9} = \cos^2 \frac{5x}{9} + \cos^2 \frac{2x}{3}.$

1) Исходное уравнение: $cos^2x + cos^22x = sin^23x + sin^24x$.

Применим формулы понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$ и $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + cos(2x)}{2} + \frac{1 + cos(4x)}{2} = \frac{1 - cos(6x)}{2} + \frac{1 - cos(8x)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$1 + cos(2x) + 1 + cos(4x) = 1 - cos(6x) + 1 - cos(8x)$

$2 + cos(2x) + cos(4x) = 2 - cos(6x) - cos(8x)$

$cos(2x) + cos(4x) + cos(6x) + cos(8x) = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$:

$(cos(8x) + cos(2x)) + (cos(6x) + cos(4x)) = 0$

$2cos(\frac{8x + 2x}{2})cos(\frac{8x - 2x}{2}) + 2cos(\frac{6x + 4x}{2})cos(\frac{6x - 4x}{2}) = 0$

$2cos(5x)cos(3x) + 2cos(5x)cos(x) = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2cos(5x)(cos(3x) + cos(x)) = 0$

Снова применим формулу суммы косинусов ко второму множителю:

$2cos(5x)(2cos(\frac{3x + x}{2})cos(\frac{3x - x}{2})) = 0$

$4cos(5x)cos(2x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем три случая:

1. $cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. $cos(5x) = 0 \implies 5x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$, $m \in \mathbb{Z}$.

Первая серия решений ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$) является подмножеством третьей серии ($x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$ при $m = 2+5j$, где $j \in \mathbb{Z}$), поэтому её можно не указывать в ответе.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi m}{5}$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin^42x + cos^42x - \frac{5}{8} = 0$.

Используем тождество $sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$. Пусть $\alpha = 2x$.

$1 - \frac{1}{2}sin^2(4x) - \frac{5}{8} = 0$

$\frac{3}{8} - \frac{1}{2}sin^2(4x) = 0$

$sin^2(4x) = \frac{3}{4}$

Теперь применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - cos(8x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - cos(8x) = \frac{3}{2}$

$cos(8x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$8x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

$8x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{2\pi}{24} + \frac{2\pi k}{8}$

$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin^2\frac{3x}{4} + sin^2(\frac{\pi}{2} - x) + cos^2\frac{5x}{4} = \frac{3}{2}$.

Применим формулу приведения $sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$:

$sin^2\frac{3x}{4} + cos^2x + cos^2\frac{5x}{4} = \frac{3}{2}$

Применим формулы понижения степени:

$\frac{1 - cos(\frac{3x}{2})}{2} + \frac{1 + cos(2x)}{2} + \frac{1 + cos(\frac{5x}{2})}{2} = \frac{3}{2}$

Умножим на 2:

$1 - cos(\frac{3x}{2}) + 1 + cos(2x) + 1 + cos(\frac{5x}{2}) = 3$

$3 + cos(2x) + cos(\frac{5x}{2}) - cos(\frac{3x}{2}) = 3$

$cos(2x) + cos(\frac{5x}{2}) - cos(\frac{3x}{2}) = 0$

Применим формулу разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$ к последним двум слагаемым:

$cos(2x) - \left(cos(\frac{3x}{2}) - cos(\frac{5x}{2})\right) = 0$

$cos(2x) - \left(-2sin(\frac{\frac{3x}{2}+\frac{5x}{2}}{2})sin(\frac{\frac{3x}{2}-\frac{5x}{2}}{2})\right) = 0$

$cos(2x) - (-2sin(2x)sin(-\frac{x}{2})) = 0$

$cos(2x) - 2sin(2x)sin(\frac{x}{2}) = 0$

Это уравнение решается сложно в общем виде. Однако, в подобных задачах часто встречаются опечатки. Если предположить, что в исходном условии первый член был $cos^2\frac{3x}{4}$, то уравнение приводится к виду: $cos(2x)(1+2cos(\frac{x}{2}))=0$.

Решим это уравнение:

1. $cos(2x)=0 \implies 2x = \frac{\pi}{2}+\pi n \implies x = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $1+2cos(\frac{x}{2})=0 \implies cos(\frac{x}{2})=-\frac{1}{2} \implies \frac{x}{2} = \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \implies x = \pm\frac{4\pi}{3}+4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $x = \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos^2\frac{x}{3} + cos^2\frac{4x}{9} = cos^2\frac{5x}{9} + cos^2\frac{2x}{3}$.

Перегруппируем слагаемые:

$cos^2\frac{x}{3} - cos^2\frac{2x}{3} = cos^2\frac{5x}{9} - cos^2\frac{4x}{9}$

Применим формулу $cos^2A - cos^2B = \frac{1+cos(2A)}{2} - \frac{1+cos(2B)}{2} = \frac{1}{2}(cos(2A) - cos(2B))$:

$\frac{1}{2}(cos(\frac{2x}{3}) - cos(\frac{4x}{3})) = \frac{1}{2}(cos(\frac{10x}{9}) - cos(\frac{8x}{9}))$

$cos(\frac{2x}{3}) - cos(\frac{4x}{3}) = cos(\frac{10x}{9}) - cos(\frac{8x}{9})$

Приведем аргументы к общему знаменателю для удобства: $cos(\frac{6x}{9}) - cos(\frac{12x}{9}) = cos(\frac{10x}{9}) - cos(\frac{8x}{9})$.

Применим формулу разности косинусов к обеим частям:

$-2sin(\frac{\frac{6x}{9}+\frac{12x}{9}}{2})sin(\frac{\frac{6x}{9}-\frac{12x}{9}}{2}) = -2sin(\frac{\frac{10x}{9}+\frac{8x}{9}}{2})sin(\frac{\frac{10x}{9}-\frac{8x}{9}}{2})$

$-2sin(x)sin(-\frac{x}{3}) = -2sin(x)sin(\frac{x}{9})$

$2sin(x)sin(\frac{x}{3}) = -2sin(x)sin(\frac{x}{9})$

$2sin(x)sin(\frac{x}{3}) + 2sin(x)sin(\frac{x}{9}) = 0$

$2sin(x)(sin(\frac{x}{3}) + sin(\frac{x}{9})) = 0$

Применим формулу суммы синусов $sin\alpha + sin\beta = 2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$ к выражению в скобках:

$2sin(x)(2sin(\frac{\frac{x}{3}+\frac{x}{9}}{2})cos(\frac{\frac{x}{3}-\frac{x}{9}}{2})) = 0$

$4sin(x)sin(\frac{2x}{9})cos(\frac{x}{9}) = 0$

Получаем три случая:

1. $sin(x) = 0 \implies x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. $sin(\frac{2x}{9}) = 0 \implies \frac{2x}{9} = \pi k \implies x = \frac{9\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. $cos(\frac{x}{9}) = 0 \implies \frac{x}{9} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{9\pi}{2} + 9\pi m$. Эта серия решений является подмножеством второй серии (при нечетных $k$).

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{9\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.