Номер 20.21, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.21. Решите с помощью графика квадратичной функции и методом интервалов неравенство:

1) $x^2 + 3x - 18 \ge 0;$

2) $-5x^2 - 12x + 17 \le 0;$

3) $6x^2 - 13x - 5 > 0.$

1) $x^2 + 3x - 18 \ge 0$

Решим данное неравенство двумя способами.

С помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 3x - 18$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (нули функции), решив уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = -6$;

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 3$.

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -6$ и $x = 3$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции $y$ будут неотрицательными ($y \ge 0$) на промежутках левее корня $-6$ и правее корня $3$, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -6] \cup [3, \infty)$.

Методом интервалов:

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 18$. Как мы уже выяснили, это $x_1 = -6$ и $x_2 = 3$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -6]$, $[-6, 3]$ и $[3, \infty)$.

Определим знак выражения $x^2 + 3x - 18$ в каждом интервале, выбрав по одной пробной точке:

• Интервал $(-\infty, -6)$: возьмем $x = -7$. $(-7)^2 + 3(-7) - 18 = 49 - 21 - 18 = 10 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-6, 3)$: возьмем $x = 0$. $0^2 + 3(0) - 18 = -18 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(3, \infty)$: возьмем $x = 4$. $4^2 + 3(4) - 18 = 16 + 12 - 18 = 10 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это промежутки со знаком "+", включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [3, \infty)$.

2) $-5x^2 - 12x + 17 \le 0$

Решим данное неравенство двумя способами.

С помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 - 12x + 17$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-5 < 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-5x^2 - 12x + 17 = 0$. Для удобства умножим уравнение на $-1$: $5x^2 + 12x - 17 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-17) = 144 + 340 = 484 = 22^2$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-12 - 22}{2 \cdot 5} = \frac{-34}{10} = -3.4$;

$x_2 = \frac{-12 + 22}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -3.4$ и $x = 1$. Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции $y$ будут неположительными ($y \le 0$) на промежутках левее корня $-3.4$ и правее корня $1$, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3.4] \cup [1, \infty)$.

Методом интервалов:

Найдем корни квадратного трехчлена $-5x^2 - 12x + 17$. Корни: $x_1 = -3.4$ и $x_2 = 1$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3.4]$, $[-3.4, 1]$ и $[1, \infty)$.

Определим знак выражения $-5x^2 - 12x + 17$ в каждом интервале:

• Интервал $(-\infty, -3.4)$: возьмем $x = -4$. $-5(-4)^2 - 12(-4) + 17 = -80 + 48 + 17 = -15 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-3.4, 1)$: возьмем $x = 0$. $-5(0)^2 - 12(0) + 17 = 17 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(1, \infty)$: возьмем $x = 2$. $-5(2)^2 - 12(2) + 17 = -20 - 24 + 17 = -27 < 0$. Знак "-".

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это промежутки со знаком "-", включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -3.4] \cup [1, \infty)$.

3) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

Решим данное неравенство двумя способами.

С помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = 6x^2 - 13x - 5$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=6 > 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $6x^2 - 13x - 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-13) - 17}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 17}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$;

$x_2 = \frac{-(-13) + 17}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $x = -1/3$ и $x = 2.5$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции $y$ будут положительными ($y > 0$) на промежутках левее корня $-1/3$ и правее корня $2.5$. Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят. Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2.5, \infty)$.

Методом интервалов:

Найдем корни квадратного трехчлена $6x^2 - 13x - 5$. Корни: $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 2.5$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 2.5)$ и $(2.5, \infty)$.

Определим знак выражения $6x^2 - 13x - 5$ в каждом интервале:

• Интервал $(-\infty, -1/3)$: возьмем $x = -1$. $6(-1)^2 - 13(-1) - 5 = 6 + 13 - 5 = 14 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-1/3, 2.5)$: возьмем $x = 0$. $6(0)^2 - 13(0) - 5 = -5 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(2.5, \infty)$: возьмем $x = 3$. $6(3)^2 - 13(3) - 5 = 54 - 39 - 5 = 10 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют промежутки, где выражение строго больше нуля. Это промежутки со знаком "+", не включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2.5, \infty)$.