Номер 20.22, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.22. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $sin(2)$, $sin(3)$, $cos(4)$, $cos(5)$;

2) $sin(3)$, $sin(4)$, $sin(6)$, $sin(7)$.

1) Для того чтобы расположить в порядке возрастания значения выражений $\sin2, \sin3, \cos4, \cos5$, определим их знаки и сравним их между собой. Аргументы тригонометрических функций даны в радианах. Будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Определим, в каких четвертях координатной плоскости находятся углы 2, 3, 4 и 5 радиан:

- Угол 2 радиана: так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, то $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$. Этот угол находится во второй четверти. Синус во второй четверти положителен, значит, $\sin2 > 0$.

- Угол 3 радиана: так как $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, этот угол также находится во второй четверти. Синус здесь положителен, значит, $\sin3 > 0$.

- Угол 4 радиана: так как $\pi \approx 3,14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, то $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$. Этот угол находится в третьей четверти. Косинус в третьей четверти отрицателен, значит, $\cos4 < 0$.

- Угол 5 радиан: так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$ и $2\pi \approx 6,28$, то $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Этот угол находится в четвертой четверти. Косинус в четвертой четверти положителен, значит, $\cos5 > 0$.

Таким образом, у нас одно отрицательное число ($\cos4$) и три положительных ($\sin2, \sin3, \cos5$). Наименьшим значением будет $\cos4$.

Теперь сравним положительные значения: $\sin2, \sin3, \cos5$.

Сравним $\sin2$ и $\sin3$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ функция $y = \sin x$ убывает. Поскольку $2 < 3$, то $\sin2 > \sin3$.

Для сравнения всех трех значений приведем их к значениям функций от углов в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$:

- $\sin3 = \sin(\pi - 3)$. Так как $\pi - 3 \approx 3,14 - 3 = 0,14$, и $0 < 0,14 < \frac{\pi}{2}$.

- $\cos5 = \sin(5 - \frac{3\pi}{2})$. Так как $5 - \frac{3\pi}{2} \approx 5 - 4,71 = 0,29$, и $0 < 0,29 < \frac{\pi}{2}$.

- $\sin2 = \sin(\pi - 2)$. Так как $\pi - 2 \approx 3,14 - 2 = 1,14$, и $0 < 1,14 < \frac{\pi}{2}$.

Теперь нам нужно сравнить $\sin(\pi - 3)$, $\sin(5 - \frac{3\pi}{2})$ и $\sin(\pi - 2)$. Их аргументы примерно равны $0,14$, $0,29$ и $1,14$. На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ функция $y = \sin x$ возрастает. Поскольку $0,14 < 0,29 < 1,14$, то $\sin(\pi - 3) < \sin(5 - \frac{3\pi}{2}) < \sin(\pi - 2)$. Следовательно, $\sin3 < \cos5 < \sin2$.

Объединяя все результаты, получаем итоговый порядок возрастания: $\cos4, \sin3, \cos5, \sin2$.

Ответ: $\cos4, \sin3, \cos5, \sin2$.

2) Расположим в порядке возрастания значения выражений $\sin3, \sin4, \sin6, \sin7$.

Определим знаки этих значений, используя $\pi \approx 3,14$ и $2\pi \approx 6,28$.

- Угол 3 радиана: $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$ (вторая четверть), поэтому $\sin3 > 0$.

- Угол 4 радиана: $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (третья четверть), поэтому $\sin4 < 0$.

- Угол 6 радиан: $\frac{3\pi}{2} < 6 < 2\pi$ (четвертая четверть), поэтому $\sin6 < 0$.

- Угол 7 радиан: так как $7 > 2\pi$, то $7 = 2\pi + (7 - 2\pi)$. Угол $7$ радиан находится в первой четверти, поэтому $\sin7 > 0$.

У нас есть два отрицательных значения ($\sin4, \sin6$) и два положительных ($\sin3, \sin7$).

Сначала сравним отрицательные значения: $\sin4$ и $\sin6$. Для этого сравним их модули.

- $|\sin4| = |-\sin(4-\pi)| = \sin(4-\pi)$. Так как $4 - \pi \approx 4 - 3,14 = 0,86$.

- $|\sin6| = |-\sin(2\pi-6)| = \sin(2\pi-6)$. Так как $2\pi - 6 \approx 6,28 - 6 = 0,28$.

Оба угла, $0,86$ и $0,28$, находятся в первой четверти, где синус возрастает. Поскольку $0,28 < 0,86$, то $\sin(2\pi-6) < \sin(4-\pi)$, то есть $|\sin6| < |\sin4|$. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше. Следовательно, $\sin4 < \sin6$.

Теперь сравним положительные значения: $\sin3$ и $\sin7$. Приведем их к углам из первой четверти.

- $\sin3 = \sin(\pi - 3)$. Так как $\pi - 3 \approx 3,14 - 3 = 0,14$.

- $\sin7 = \sin(7 - 2\pi)$. Так как $7 - 2\pi \approx 7 - 6,28 = 0,72$.

Оба угла, $0,14$ и $0,72$, находятся в первой четверти. Поскольку синус в первой четверти возрастает и $0,14 < 0,72$, то $\sin(\pi - 3) < \sin(7 - 2\pi)$. Следовательно, $\sin3 < \sin7$.

Собирая все вместе, получаем: отрицательные числа меньше положительных, и мы уже упорядочили числа внутри каждой группы. Итоговый порядок: $\sin4, \sin6, \sin3, \sin7$.

Ответ: $\sin4, \sin6, \sin3, \sin7$.