Номер 20.17, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.17. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \cos x \cdot \cos y = 0,5, \\ \sin(x + y) \cdot \sin(x - y) = 0,75; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} \sin^2 x + \sin y = 1, \\ \cos^2 x + \cos y = 1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -0,5, \\ \cos x \cdot \sin y = 0,5. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\cos x \cdot \cos y = 0,5 \\\sin(x + y) \cdot \sin(x - y) = 0,75\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу произведения синусов $\sin \alpha \cdot \sin \beta = \sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta$ или более удобную $\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$. В нашем случае, раскроем синусы суммы и разности:

$\sin(x + y) \cdot \sin(x - y) = (\sin x \cos y + \cos x \sin y)(\sin x \cos y - \cos x \sin y)$

Это формула разности квадратов, поэтому:

$\sin^2 x \cos^2 y - \cos^2 x \sin^2 y = 0,75$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$:

$(1 - \cos^2 x) \cos^2 y - \cos^2 x (1 - \cos^2 y) = 0,75$

$\cos^2 y - \cos^2 x \cos^2 y - \cos^2 x + \cos^2 x \cos^2 y = 0,75$

$\cos^2 y - \cos^2 x = 0,75$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases}\cos x \cos y = 0,5 \\\cos^2 y - \cos^2 x = 0,75\end{cases}$

Пусть $u = \cos x$ и $v = \cos y$. Система примет вид:

$\begin{cases}uv = 0,5 \\v^2 - u^2 = 0,75\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $u = \frac{0,5}{v}$ и подставим во второе:

$v^2 - (\frac{0,5}{v})^2 = 0,75$

$v^2 - \frac{0,25}{v^2} = 0,75$

Домножим на $v^2$ (где $v \neq 0$, так как $uv=0,5$):

$v^4 - 0,75v^2 - 0,25 = 0$

Сделаем замену $t = v^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 - 0,75t - 0,25 = 0$

Умножим на 4 для удобства: $4t^2 - 3t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

$t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 5}{8}$.

$t_1 = \frac{8}{8} = 1$ и $t_2 = \frac{-2}{8} = -0,25$.

Так как $t = \cos^2 y \ge 0$, корень $t_2$ не подходит.

Итак, $t=1$, значит $\cos^2 y = 1$, откуда $\cos y = 1$ или $\cos y = -1$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\cos y = 1$.

Из уравнения $\cos x \cos y = 0,5$ получаем $\cos x \cdot 1 = 0,5 \Rightarrow \cos x = 0,5$.

Решения этой системы:$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$y = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $\cos y = -1$.

Из уравнения $\cos x \cos y = 0,5$ получаем $\cos x \cdot (-1) = 0,5 \Rightarrow \cos x = -0,5$.

Решения этой системы:$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$y = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n; 2\pi k), (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m; \pi + 2\pi p)$, где $n, k, m, p \in \mathbb{Z}$.

2) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\sin^2 x + \sin y = 1 \\\cos^2 x + \cos y = 1\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin y + \cos y) = 1 + 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$1 + \sin y + \cos y = 2$

$\sin y + \cos y = 1$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Умножим его на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin y + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{4} \sin y + \sin \frac{\pi}{4} \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(y + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда получаем две серии решений для $y$:

1) $y + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow y = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $y + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $y = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Тогда $\sin y = \sin(2\pi k) = 0$ и $\cos y = \cos(2\pi k) = 1$.

Подставим в первое уравнение исходной системы: $\sin^2 x + 0 = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 1$, откуда $\sin x = \pm 1$. Это означает $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Подставим во второе уравнение: $\cos^2 x + 1 = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 0$, откуда $\cos x = 0$. Это те же значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Первая серия решений: $(x, y) = (\frac{\pi}{2} + \pi m, 2\pi k)$, где $m, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Тогда $\sin y = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1$ и $\cos y = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$.

Подставим в первое уравнение: $\sin^2 x + 1 = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Это означает $x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Подставим во второе уравнение: $\cos^2 x + 0 = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1$, откуда $\cos x = \pm 1$. Это те же значения $x = \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Вторая серия решений: $(x, y) = (\pi m, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $m, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi m, 2\pi k), (\pi p, \frac{\pi}{2} + 2\pi q)$, где $m, k, p, q \in \mathbb{Z}$.

3) Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\sin x \cos y = -0,5 \\\cos x \sin y = 0,5\end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы использовать формулу синуса суммы:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y = -0,5 + 0,5$

$\sin(x + y) = 0$

Отсюда $x + y = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы использовать формулу синуса разности:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = -0,5 - 0,5$

$\sin(x - y) = -1$

Отсюда $x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Получили систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = \pi k \\x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$2x = \pi k - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$2y = \pi k - (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \pi k + \frac{\pi}{2} - 2\pi n$

$y = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} - \pi n$

Это общее решение системы с двумя целочисленными параметрами $k$ и $n$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi n, y = \frac{\pi k}{2} + \frac{\pi}{4} - \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.