Номер 20.13, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.13. Решите уравнение способом понижения степени и преобразования уравнения:

1) $ \sin x + \sin 2x - \cos x = 2\cos^2 x; $

2) $ \sin 4x - \cos^4 x = - \sin^4 x; $

3) $ \sin(x + 45^\circ)\sin(x - 15^\circ) = 0.5; $

4) $ \sin 2x - 2\sin^2 x - 4\sin x = -4\cos x. $

1) Исходное уравнение: $sinx + sin2x - cosx = 2cos^2x$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $sinx + sin2x - cosx - 2cos^2x = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$sinx + 2sinxcosx - cosx - 2cos^2x = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(sinx - cosx) + (2sinxcosx - 2cos^2x) = 0$

Вынесем общий множитель $2cosx$ из второй скобки:

$(sinx - cosx) + 2cosx(sinx - cosx) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(sinx - cosx)$ за скобки:

$(sinx - cosx)(1 + 2cosx) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

а) $sinx - cosx = 0$

$sinx = cosx$

Если $cosx \ne 0$, разделим обе части на $cosx$:

$tanx = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

(Случай $cosx=0$ не является решением, так как тогда $sinx=\pm1$, и равенство $sinx=cosx$ не выполняется).

б) $1 + 2cosx = 0$

$2cosx = -1$

$cosx = -\frac{1}{2}$

$x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.

2) Исходное уравнение: $sin4x - cos^4x = -sin^4x$.

Перенесем все члены в левую часть: $sin4x + sin^4x - cos^4x = 0$.

Преобразуем выражение $sin^4x - cos^4x$ по формуле разности квадратов:

$sin^4x - cos^4x = (sin^2x - cos^2x)(sin^2x + cos^2x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $cos2x = cos^2x - sin^2x$, получаем:

$sin^4x - cos^4x = -(cos^2x - sin^2x)(1) = -cos2x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$sin4x + (-cos2x) = 0$

$sin4x = cos2x$

Используем формулу приведения $cos\alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$sin4x = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$

Это равенство выполняется в двух случаях:

а) $4x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi k$

$6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

б) $4x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 2x) + 2\pi n$

$4x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$; $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

3) Исходное уравнение: $sin(x + 45^\circ)sin(x - 15^\circ) = 0.5$.

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$.

В нашем случае $\alpha = x + 45^\circ$ и $\beta = x - 15^\circ$.

$\alpha - \beta = (x + 45^\circ) - (x - 15^\circ) = 60^\circ$

$\alpha + \beta = (x + 45^\circ) + (x - 15^\circ) = 2x + 30^\circ$

Подставляем в уравнение:

$\frac{1}{2}(cos(60^\circ) - cos(2x + 30^\circ)) = 0.5$

Умножим обе части на 2:

$cos(60^\circ) - cos(2x + 30^\circ) = 1$

Так как $cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} - cos(2x + 30^\circ) = 1$

$-cos(2x + 30^\circ) = 1 - \frac{1}{2}$

$cos(2x + 30^\circ) = -\frac{1}{2}$

Решаем это простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x + 30^\circ = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 360^\circ k$

$2x + 30^\circ = \pm 120^\circ + 360^\circ k$, где $k \in Z$.

Рассмотрим два случая:

а) $2x + 30^\circ = 120^\circ + 360^\circ k$

$2x = 90^\circ + 360^\circ k$

$x = 45^\circ + 180^\circ k$, где $k \in Z$.

б) $2x + 30^\circ = -120^\circ + 360^\circ k$

$2x = -150^\circ + 360^\circ k$

$x = -75^\circ + 180^\circ k$, где $k \in Z$.

Ответ: $45^\circ + 180^\circ k, k \in Z$; $-75^\circ + 180^\circ k, k \in Z$.

4) Исходное уравнение: $sin2x - 2sin^2x - 4sinx = -4cosx$.

Перенесем все члены в левую часть и воспользуемся формулой синуса двойного угла $sin2x = 2sinxcosx$:

$2sinxcosx - 2sin^2x - 4sinx + 4cosx = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2sinxcosx + 4cosx) - (2sin^2x + 4sinx) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$2cosx(sinx + 2) - 2sinx(sinx + 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(sinx + 2)$:

$(sinx + 2)(2cosx - 2sinx) = 0$

$2(sinx + 2)(cosx - sinx) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

а) $sinx + 2 = 0 \implies sinx = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.

б) $cosx - sinx = 0 \implies cosx = sinx$.

Если $cosx \ne 0$, разделим обе части на $cosx$:

$tanx = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

(Случай $cosx=0$ не является решением, так как тогда $sinx=\pm1$, и равенство $cosx=sinx$ не выполняется).

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.