Номер 20.8, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.8. Решите уравнение способом понижения степени уравнения:

1) $\sin^2 x + \sin^2 2x - \sin^2 3x = \sin^2 4x;$

2) $\cos \frac{4x}{3} + \sin^2 \frac{3x}{2} + 2\sin^2 \frac{5x}{4} - \cos^2 \frac{3x}{2} = 0;$

3) $\sin^4 x + \cos^4 x - \frac{5}{8} = 0;$

4) $\cos^2 x + \cos^2 2x - \cos^2 3x - \cos^2 4x = 0;$

5) $\cos^2 \frac{3x}{4} + \cos^2 x + \cos^2 \frac{5x}{4} = \frac{3}{2};$

6) $\sin^2 \frac{x}{3} + \sin^2 \frac{4x}{9} = \sin^2 \frac{5x}{9} + \sin^2 \frac{2x}{3}.$

1) Исходное уравнение: $sin^2x + sin^22x - sin^23x = sin^24x$.

Перенесем все члены в одну сторону: $sin^2x + sin^22x - sin^23x - sin^24x = 0$.

Применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ к каждому члену уравнения:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(4x)}{2} - \frac{1 - \cos(6x)}{2} - \frac{1 - \cos(8x)}{2} = 0$.

Умножим обе части на 2:

$(1 - \cos(2x)) + (1 - \cos(4x)) - (1 - \cos(6x)) - (1 - \cos(8x)) = 0$.

Раскроем скобки и упростим:

$1 - \cos(2x) + 1 - \cos(4x) - 1 + \cos(6x) - 1 + \cos(8x) = 0$

$-\cos(2x) - \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) = 0$

Сгруппируем члены уравнения: $(\cos(8x) + \cos(6x)) - (\cos(4x) + \cos(2x)) = 0$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos(\frac{8x+6x}{2})\cos(\frac{8x-6x}{2}) - 2\cos(\frac{4x+2x}{2})\cos(\frac{4x-2x}{2}) = 0$

$2\cos(7x)\cos(x) - 2\cos(3x)\cos(x) = 0$.

Вынесем общий множитель $2\cos(x)$ за скобки:

$2\cos(x)(\cos(7x) - \cos(3x)) = 0$.

Применим формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ ко второму множителю:

$2\cos(x)(-2\sin(\frac{7x+3x}{2})\sin(\frac{7x-3x}{2})) = 0$

$-4\cos(x)\sin(5x)\sin(2x) = 0$.

Это уравнение распадается на три случая:

1. $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

3. $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi m}{2}$ (при нечетных $m$). Таким образом, решения можно объединить в две серии.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi m}{2}$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\cos\frac{4x}{3} + \sin^2\frac{3x}{2} + 2\sin^2\frac{5x}{4} - \cos^2\frac{3x}{2} = 0$.

Сгруппируем члены с одинаковым аргументом: $\cos\frac{4x}{3} + 2\sin^2\frac{5x}{4} - (\cos^2\frac{3x}{2} - \sin^2\frac{3x}{2}) = 0$.

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$\cos\frac{4x}{3} + 2\sin^2\frac{5x}{4} - \cos(2 \cdot \frac{3x}{2}) = 0$

$\cos\frac{4x}{3} + 2\sin^2\frac{5x}{4} - \cos(3x) = 0$.

Применим формулу понижения степени $2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$:

$\cos\frac{4x}{3} + (1 - \cos(2 \cdot \frac{5x}{4})) - \cos(3x) = 0$

$\cos\frac{4x}{3} + 1 - \cos(\frac{5x}{2}) - \cos(3x) = 0$.

Перепишем уравнение в виде: $(\cos\frac{4x}{3} - \cos(3x)) + (1 - \cos\frac{5x}{2}) = 0$.

Решения можно искать в виде, когда обе скобки одновременно равны нулю:

$\begin{cases} \cos\frac{4x}{3} - \cos(3x) = 0 \\ 1 - \cos\frac{5x}{2} = 0 \end{cases}$.

Из второго уравнения: $\cos\frac{5x}{2} = 1 \implies \frac{5x}{2} = 2\pi k \implies x = \frac{4\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

Подставим это решение в первое уравнение:

$\cos(\frac{4}{3} \cdot \frac{4\pi k}{5}) = \cos(3 \cdot \frac{4\pi k}{5})$

$\cos(\frac{16\pi k}{15}) = \cos(\frac{12\pi k}{5}) = \cos(\frac{36\pi k}{15})$.

Это равенство выполняется, если $\frac{16\pi k}{15} = \pm \frac{36\pi k}{15} + 2\pi n$.

При $k=0$ получаем $x=0$, что является решением. Если $k \neq 0$, сокращаем на $k$:

$\frac{16\pi}{15} = \pm \frac{36\pi}{15} + \frac{2\pi n}{k} \implies 16 = \pm 36 + \frac{30n}{k}$.

Случай 1: $16 = 36 + \frac{30n}{k} \implies -20 = \frac{30n}{k} \implies \frac{n}{k} = -\frac{2}{3}$. Это возможно, например, при $k=3m, n=-2m$. Тогда $x = \frac{4\pi(3m)}{5} = \frac{12\pi m}{5}$.

Случай 2: $16 = -36 + \frac{30n}{k} \implies 52 = \frac{30n}{k} \implies \frac{n}{k} = \frac{26}{15}$. Это возможно, например, при $k=15m, n=26m$. Тогда $x = \frac{4\pi(15m)}{5} = 12\pi m$. Эта серия решений является подмножеством первой (при $m$ кратных 5).

Таким образом, решения этого вида $x = \frac{12\pi m}{5}, m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{12\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $sin^4x + cos^4x - \frac{5}{8} = 0$.

Преобразуем выражение $sin^4x + cos^4x$:

$sin^4x + cos^4x = (sin^2x + cos^2x)^2 - 2sin^2xcos^2x = 1^2 - 2(sinxcosx)^2 = 1 - 2(\frac{sin2x}{2})^2 = 1 - \frac{sin^22x}{2}$.

Подставим в уравнение:

$1 - \frac{sin^22x}{2} - \frac{5}{8} = 0$

$\frac{3}{8} = \frac{sin^22x}{2} \implies sin^22x = \frac{3}{4}$.

Применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{3}{4}$

$\frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{3}{4}$.

$1 - \cos(4x) = \frac{3}{2} \implies \cos(4x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$.

Решаем полученное уравнение:

$4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$

$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos^2x + cos^22x - cos^23x - cos^24x = 0$.

Применим формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ к каждому члену:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} - \frac{1 + \cos(6x)}{2} - \frac{1 + \cos(8x)}{2} = 0$.

Умножим обе части на 2:

$(1 + \cos(2x)) + (1 + \cos(4x)) - (1 + \cos(6x)) - (1 + \cos(8x)) = 0$.

Раскроем скобки и упростим:

$\cos(2x) + \cos(4x) - \cos(6x) - \cos(8x) = 0$.

Сгруппируем члены: $(\cos(4x) + \cos(2x)) - (\cos(8x) + \cos(6x)) = 0$.

Заметим, что это уравнение отличается от уравнения в задаче 1) только знаками. После преобразований из задачи 1) мы получили бы: $(\cos(8x) + \cos(6x)) - (\cos(4x) + \cos(2x)) = 0$. В данном случае у нас $\cos(2x)+\cos(4x) - (\cos(6x)+\cos(8x)) = 0$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos(3x)\cos(x) - 2\cos(7x)\cos(x) = 0$.

$2\cos(x)(\cos(3x) - \cos(7x)) = 0$.

Применим формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$2\cos(x)(-2\sin(5x)\sin(-2x)) = 0$

$4\cos(x)\sin(5x)\sin(2x) = 0$.

Это уравнение распадается на три случая:

1. $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

3. $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi m}{2}$ (при нечетных $m$).

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi m}{2}$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $cos^2\frac{3x}{4} + cos^2x + cos^2\frac{5x}{4} = \frac{3}{2}$.

Применим формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(\frac{3x}{2})}{2} + \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(\frac{5x}{2})}{2} = \frac{3}{2}$.

Умножим обе части на 2:

$(1 + \cos(\frac{3x}{2})) + (1 + \cos(2x)) + (1 + \cos(\frac{5x}{2})) = 3$.

Упростим:

$3 + \cos(\frac{3x}{2}) + \cos(2x) + \cos(\frac{5x}{2}) = 3$

$\cos(\frac{3x}{2}) + \cos(2x) + \cos(\frac{5x}{2}) = 0$.

Сгруппируем крайние члены и применим формулу суммы косинусов:

$(\cos(\frac{5x}{2}) + \cos(\frac{3x}{2})) + \cos(2x) = 0$

$2\cos(\frac{\frac{5x}{2}+\frac{3x}{2}}{2})\cos(\frac{\frac{5x}{2}-\frac{3x}{2}}{2}) + \cos(2x) = 0$

$2\cos(2x)\cos(\frac{x}{2}) + \cos(2x) = 0$.

Вынесем $\cos(2x)$ за скобки:

$\cos(2x)(2\cos(\frac{x}{2}) + 1) = 0$.

Уравнение распадается на два случая:

1. $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2. $2\cos(\frac{x}{2}) + 1 = 0 \implies \cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$.

$\frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $sin^2\frac{x}{3} + sin^2\frac{4x}{9} = sin^2\frac{5x}{9} + sin^2\frac{2x}{3}$.

Перенесем все члены в одну сторону: $sin^2\frac{x}{3} - sin^2\frac{2x}{3} + sin^2\frac{4x}{9} - sin^2\frac{5x}{9} = 0$.

Применим формулу понижения степени $sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(\frac{2x}{3})}{2} - \frac{1 - \cos(\frac{4x}{3})}{2} + \frac{1 - \cos(\frac{8x}{9})}{2} - \frac{1 - \cos(\frac{10x}{9})}{2} = 0$.

Умножим на 2 и упростим:

$(1 - \cos(\frac{2x}{3})) - (1 - \cos(\frac{4x}{3})) + (1 - \cos(\frac{8x}{9})) - (1 - \cos(\frac{10x}{9})) = 0$

$\cos(\frac{4x}{3}) - \cos(\frac{2x}{3}) + \cos(\frac{10x}{9}) - \cos(\frac{8x}{9}) = 0$.

Приведем аргументы к общему знаменателю 9: $\cos(\frac{12x}{9}) - \cos(\frac{6x}{9}) + \cos(\frac{10x}{9}) - \cos(\frac{8x}{9}) = 0$.

Сгруппируем и применим формулу разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$(\cos(\frac{12x}{9}) - \cos(\frac{6x}{9})) + (\cos(\frac{10x}{9}) - \cos(\frac{8x}{9})) = 0$

$-2\sin(\frac{18x/9}{2})\sin(\frac{6x/9}{2}) - 2\sin(\frac{18x/9}{2})\sin(\frac{2x/9}{2}) = 0$

$-2\sin(x)\sin(\frac{x}{3}) - 2\sin(x)\sin(\frac{x}{9}) = 0$.

Вынесем $-2\sin(x)$ за скобки:

$-2\sin(x)(\sin(\frac{x}{3}) + \sin(\frac{x}{9})) = 0$.

Применим формулу суммы синусов $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$-2\sin(x)(2\sin(\frac{x/3+x/9}{2})\cos(\frac{x/3-x/9}{2})) = 0$

$-4\sin(x)\sin(\frac{2x}{9})\cos(\frac{x}{9}) = 0$.

Уравнение распадается на три случая:

1. $\sin(x) = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin(\frac{2x}{9}) = 0 \implies \frac{2x}{9} = \pi n \implies x = \frac{9\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3. $\cos(\frac{x}{9}) = 0 \implies \frac{x}{9} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{9\pi}{2} + 9\pi m = \frac{9\pi(1+2m)}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Серия решений из случая 3 является подмножеством серии из случая 2 (при нечетных $n$).

Ответ: $x = \pi k, x = \frac{9\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.