Номер 20.4, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.4. Решите однородное тригонометрическое уравнение:

1) $4\cos^2x + \sin x\cos x + 3\sin^2x - 3 = 0;$

2) $\cos^2x - 3\sin x \cos x = -1;$

3) $5\sin^2x - 3\sin x \cos x = 2\cos^2x;$

4) $2\sin^2x - 5\sin x \cos x = \cos^2x - 2.$

1) Исходное уравнение: $4\cos^2x + \sin x\cos x + 3\sin^2x - 3 = 0$.

Данное уравнение не является однородным из-за свободного члена $-3$. Чтобы привести его к однородному виду, заменим $3$ на $3 \cdot 1$, используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2x + \cos^2x$.

$4\cos^2x + \sin x\cos x + 3\sin^2x - 3(\sin^2x + \cos^2x) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4\cos^2x + \sin x\cos x + 3\sin^2x - 3\sin^2x - 3\cos^2x = 0$

$\cos^2x + \sin x\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x + \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x + \sin x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части на $\cos x$. Это можно сделать, так как если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$, что невозможно одновременно.

$1 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0$

$\tan x = -1$

Решение этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $2\cos^2x - 3\sin x \cos x = -1$.

Приведем уравнение к однородному виду, заменив $-1$ на $-(\sin^2x + \cos^2x)$.

$2\cos^2x - 3\sin x \cos x = -(\sin^2x + \cos^2x)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$2\cos^2x - 3\sin x \cos x + \sin^2x + \cos^2x = 0$

$\sin^2x - 3\sin x \cos x + 3\cos^2x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим случай, когда $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то уравнение принимает вид $\sin^2x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$:

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{3\sin x\cos x}{\cos^2x} + \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$\tan^2x - 3\tan x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 3t + 3 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходное тригонометрическое уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Исходное уравнение: $5\sin^2x - 3\sin x \cos x = 2\cos^2x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид однородного уравнения:

$5\sin^2x - 3\sin x \cos x - 2\cos^2x = 0$

Это однородное уравнение второго порядка. Если $\cos x = 0$, то уравнение превращается в $5\sin^2x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Это невозможно, значит $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$:

$5\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - 3\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x} - 2\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$5\tan^2x - 3\tan x - 2 = 0$

Пусть $t = \tan x$, тогда получаем квадратное уравнение:

$5t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$

$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь вернемся к замене и решим два простейших тригонометрических уравнения:

а) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan x = -\frac{2}{5} \implies x = \arctan(-\frac{2}{5}) + \pi k = -\arctan(\frac{2}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(\frac{2}{5}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $2\sin^2x - 5\sin x \cos x = \cos^2x - 2$.

Чтобы сделать уравнение однородным, заменим $-2$ на $-2(\sin^2x + \cos^2x)$.

$2\sin^2x - 5\sin x \cos x = \cos^2x - 2(\sin^2x + \cos^2x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2\sin^2x - 5\sin x \cos x = \cos^2x - 2\sin^2x - 2\cos^2x$

$2\sin^2x - 5\sin x \cos x = -\sin^2x - \cos^2x$

$2\sin^2x + 2\sin^2x - 5\sin x \cos x + \cos^2x = 0$

$4\sin^2x - 5\sin x \cos x + \cos^2x = 0$

Получили однородное уравнение второго порядка. Как и в предыдущих случаях, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$:

$4\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} + \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$4\tan^2x - 5\tan x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$4t^2 - 5t + 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Возвращаемся к переменной $x$:

а) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\tan x = \frac{1}{4} \implies x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.