Номер 20.9, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.9. Решите уравнение способом преобразования произведения в сумму тригонометрических функций:

1) $sinx cosx cos2x cos8x - \frac{1}{4}sin12x = 0;$

2) $4cosx cos2x cos3x - cos6x = 0;$

3) $sinx sin2x sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0;$

4) $cosx cos2x cos4x cos8x - \frac{1}{8}cos15x = 0;$

5) $cosx cos\frac{7x}{2} sin\frac{9x}{2} = \frac{1}{4}sin7x;$

6) $cosx cos2x cos4x cos8x - \frac{1}{16} = 0.$

1) Дано уравнение: $sinx cosx cos2x cos8x - \frac{1}{4}sin12x = 0$.

Преобразуем произведение $sinx cosx$, используя формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$:

$sinx cosx = \frac{1}{2}sin2x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2}sin2x cos2x cos8x - \frac{1}{4}sin12x = 0$.

Аналогично, $\frac{1}{2}sin2x cos2x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}sin4x = \frac{1}{4}sin4x$.

Подставляем в уравнение:

$\frac{1}{4}sin4x cos8x - \frac{1}{4}sin12x = 0$.

Умножим обе части на 4:

$sin4x cos8x - sin12x = 0$.

Применим формулу преобразования произведения в сумму $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$:

$\frac{1}{2}(sin(4x+8x) + sin(4x-8x)) - sin12x = 0$

$\frac{1}{2}(sin12x + sin(-4x)) - sin12x = 0$.

Поскольку $sin(-4x) = -sin4x$, получаем:

$\frac{1}{2}(sin12x - sin4x) - sin12x = 0$

$sin12x - sin4x - 2sin12x = 0$

$-sin12x - sin4x = 0$ или $sin12x + sin4x = 0$.

Применим формулу преобразования суммы синусов в произведение $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2sin\frac{12x+4x}{2}cos\frac{12x-4x}{2} = 0$

$2sin8x cos4x = 0$.

Это уравнение распадается на два:

а) $sin8x = 0 \implies 8x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi(1+2n)}{8}, n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что вторая серия решений (при нечетных числителях) является подмножеством первой серии. Следовательно, все решения можно записать одной формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение: $4cosx cos2x cos3x - cos6x = 0$.

Сгруппируем и преобразуем произведение $2cosx cos2x$ по формуле $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta))$:

$2(2cosx cos2x)cos3x - cos6x = 0$

$2(cos(x+2x) + cos(x-2x))cos3x - cos6x = 0$

$2(cos3x + cosx)cos3x - cos6x = 0$

$2cos^2(3x) + 2cosx cos3x - cos6x = 0$.

Используем формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1+cos(2\alpha)}{2}$:

$2\frac{1+cos(6x)}{2} + 2cosx cos3x - cos6x = 0$

$1 + cos6x + 2cosx cos3x - cos6x = 0$

$1 + 2cosx cos3x = 0$.

Снова применим формулу преобразования произведения в сумму:

$1 + (cos(x+3x) + cos(x-3x)) = 0$

$1 + cos4x + cos2x = 0$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$:

$1 + (2cos^2(2x) - 1) + cos2x = 0$

$2cos^2(2x) + cos2x = 0$

$cos2x(2cos2x + 1) = 0$.

Получаем два случая:

а) $cos2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2cos2x + 1 = 0 \implies cos2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение: $sinx sin2x sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$.

Преобразуем произведение $sinx sin2x$ по формуле $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha-\beta) - cos(\alpha+\beta))$:

$\frac{1}{2}(cos(x-2x) - cos(x+2x))sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$

$\frac{1}{2}(cos(-x) - cos3x)sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$

$\frac{1}{2}(cosx - cos3x)sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$

$\frac{1}{2}cosx sin3x - \frac{1}{2}cos3x sin3x - \frac{1}{4}sin4x = 0$.

Используем $sin\alpha cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$, тогда $\frac{1}{2}cos3x sin3x = \frac{1}{4}sin6x$.

$\frac{1}{2}cosx sin3x - \frac{1}{4}sin6x - \frac{1}{4}sin4x = 0$.

Умножим на 4: $2cosx sin3x - sin6x - sin4x = 0$.

Преобразуем $2cosx sin3x$ по формуле $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$:

$2sin3x cosx = sin(3x+x) + sin(3x-x) = sin4x + sin2x$.

Подставляем в уравнение:

$(sin4x + sin2x) - sin6x - sin4x = 0$

$sin2x - sin6x = 0 \implies sin6x = sin2x$.

Решения этого уравнения находятся по формулам:

а) $6x = 2x + 2\pi k \implies 4x = 2\pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $6x = \pi - 2x + 2\pi n \implies 8x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение: $cosx cos2x cos4x cos8x - \frac{1}{8}cos15x = 0$.

Обозначим $P = cosx cos2x cos4x cos8x$. Предположим, что $sinx \neq 0$ (то есть $x \neq \pi m, m \in \mathbb{Z}$). Умножим $P$ на $16sinx$:

$16sinx \cdot P = 16sinx cosx cos2x cos4x cos8x = 8(2sinx cosx)cos2x cos4x cos8x = 8sin2x cos2x cos4x cos8x = 4sin4x cos4x cos8x = 2sin8x cos8x = sin16x$.

Следовательно, $P = \frac{sin16x}{16sinx}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{sin16x}{16sinx} - \frac{1}{8}cos15x = 0$

$\frac{sin16x}{16sinx} = \frac{cos15x}{8}$.

Умножим обе части на $16sinx$:

$sin16x = 2sinx cos15x$.

Применим формулу $2sin\alpha cos\beta = sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta)$:

$sin16x = sin(x+15x) + sin(x-15x)$

$sin16x = sin16x + sin(-14x)$

$sin16x = sin16x - sin14x$

$sin14x = 0$.

$14x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{14}, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь нужно исключить значения $k$, для которых нарушается наше предположение $sinx \neq 0$.

$sinx = 0$ при $x = \pi m$. $\frac{\pi k}{14} = \pi m \implies k = 14m$.

Таким образом, $k$ не должно быть кратно 14.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{14}$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k$ не делится на 14.

5) Дано уравнение: $cosx cos\frac{7x}{2} sin\frac{9x}{2} = \frac{1}{4}sin7x$.

Преобразуем произведение $cos\frac{7x}{2} sin\frac{9x}{2}$ по формуле $sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$:

$sin\frac{9x}{2}cos\frac{7x}{2} = \frac{1}{2}(sin(\frac{9x}{2}+\frac{7x}{2}) + sin(\frac{9x}{2}-\frac{7x}{2})) = \frac{1}{2}(sin8x + sinx)$.

Подставим в уравнение:

$cosx \cdot \frac{1}{2}(sin8x + sinx) = \frac{1}{4}sin7x$.

Умножим на 4: $2cosx(sin8x + sinx) = sin7x$.

$2cosx sin8x + 2cosx sinx = sin7x$.

Преобразуем произведения в суммы:

$2sin8x cosx = sin(8x+x) + sin(8x-x) = sin9x + sin7x$.

$2sinx cosx = sin2x$.

Подставляем обратно:

$(sin9x + sin7x) + sin2x = sin7x$

$sin9x + sin2x = 0$.

Преобразуем сумму в произведение:

$2sin\frac{9x+2x}{2}cos\frac{9x-2x}{2} = 0$

$2sin\frac{11x}{2}cos\frac{7x}{2} = 0$.

Получаем два случая:

а) $sin\frac{11x}{2} = 0 \implies \frac{11x}{2} = \pi k \implies x = \frac{2\pi k}{11}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos\frac{7x}{2} = 0 \implies \frac{7x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{11}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{7} + \frac{2\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

6) Дано уравнение: $cosx cos2x cos4x cos8x - \frac{1}{16} = 0$.

Как и в задаче 4, произведение $P = cosx cos2x cos4x cos8x = \frac{sin16x}{16sinx}$ при условии $sinx \neq 0$.

Подставляем в уравнение:

$\frac{sin16x}{16sinx} - \frac{1}{16} = 0$

$\frac{sin16x}{16sinx} = \frac{1}{16}$.

При $sinx \neq 0$ можем умножить на $16sinx$:

$sin16x = sinx$.

Решения этого уравнения находятся по формулам:

а) $16x = x + 2\pi k \implies 15x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{15}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $16x = \pi - x + 2\pi n \implies 17x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi(1+2n)}{17}, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим условие $sinx \neq 0$.

Для серии а): $sinx = 0$ при $x = \pi m$. $\frac{2\pi k}{15} = \pi m \implies 2k = 15m$. Так как 2 и 15 взаимно просты, $k$ должно быть кратно 15. Значит, нужно исключить $k$, кратные 15.Для серии б): $sinx = 0$ при $x = \pi m$. $\frac{\pi(1+2n)}{17} = \pi m \implies 1+2n = 17m$. Это возможно, если $m$ - нечетное число. Таким образом, нужно исключить значения $n$, для которых $1+2n$ кратно 17.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{15}$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $k$ не делится на 15; $x = \frac{\pi(1+2n)}{17}$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $1+2n$ не делится на 17.