Номер 20.5, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.5. Решите способом введения дополнительного аргумента уравнение:

1) $ \sin x - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $

2) $ \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0 $

3) $ \sqrt{2} \sin x = 2 - \sqrt{2} \cos x $

4) $ \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3} $

1) Исходное уравнение: $ \sin x - \cos x = \sqrt{\frac{3}{2}} $.

Данное уравнение имеет вид $ a \sin x + b \cos x = c $, где $ a = 1 $, $ b = -1 $, $ c = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Разделим обе части уравнения на коэффициент $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $.

Получим: $ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.

Упростим: $ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Заметим, что $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Подставим эти значения в уравнение:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Используя формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $, получаем:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решения этого уравнения имеют вид: $ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $.

Выразим $x$: $ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0 $.

Перепишем уравнение в виде $ \sin 2x + \cos 2x = -1 $.

Это уравнение вида $ a \sin(2x) + b \cos(2x) = c $, где $ a = 1 $, $ b = 1 $, $ c = -1 $.

Разделим обе части на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.

$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x = -\frac{1}{\sqrt{2}} $.

Так как $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, уравнение можно записать как:

$ \sin 2x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos 2x \sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Используя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $, получаем:

$ \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это уравнение распадается на две серии решений.

Первая серия:

$ 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $.

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k $.

Вторая серия:

$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \pi + 2\pi k $.

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{2} \sin x = 2 - \sqrt{2} \cos x $.

Перенесем слагаемое с косинусом в левую часть: $ \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 2 $.

Это уравнение вида $ a \sin x + b \cos x = c $, где $ a = \sqrt{2} $, $ b = \sqrt{2} $, $ c = 2 $.

Разделим обе части на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2 $.

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1 $.

Заменим коэффициенты на тригонометрические функции: $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Представим левую часть как косинус разности: $ \cos x \cos(\frac{\pi}{4}) + \sin x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Используя формулу $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $, получаем:

$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 1 $.

Это частный случай, решение которого: $ x - \frac{\pi}{4} = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Выразим $x$: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3} $.

Уравнение имеет вид $ a \sin(2x) + b \cos(2x) = c $, где $ a = \sqrt{3} $, $ b = 1 $, $ c = \sqrt{3} $.

Разделим обе части на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2 $.

$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Заметим, что $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $. Подставим эти значения:

$ \sin 2x \cos(\frac{\pi}{6}) + \cos 2x \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Используя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) $, получаем:

$ \sin(2x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Это уравнение распадается на две серии решений.

Первая серия:

$ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

$ x = \frac{\pi}{12} + \pi k $.

Вторая серия:

$ 2x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.