Номер 20.2, страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.2. Решите уравнение:

1) $\cos(70^\circ + x)\cos(x - 20^\circ) = \frac{1}{2}$;

2) $\sin(40^\circ + x)\sin(x - 50^\circ) = 1$.

1) $cos(70^\circ + x)cos(x - 20^\circ) = \frac{1}{2}$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму:

$cos(\alpha)cos(\beta) = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае пусть $\alpha = 70^\circ + x$ и $\beta = x - 20^\circ$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$cos(70^\circ + x)cos(x - 20^\circ) = \frac{1}{2}(cos((70^\circ + x) - (x - 20^\circ)) + cos((70^\circ + x) + (x - 20^\circ)))$

Упростим выражения в аргументах косинусов:

$\alpha - \beta = 70^\circ + x - x + 20^\circ = 90^\circ$

$\alpha + \beta = 70^\circ + x + x - 20^\circ = 2x + 50^\circ$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$\frac{1}{2}(cos(90^\circ) + cos(2x + 50^\circ)) = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$cos(90^\circ) + cos(2x + 50^\circ) = 1$

Так как $cos(90^\circ) = 0$, уравнение принимает вид:

$0 + cos(2x + 50^\circ) = 1$

$cos(2x + 50^\circ) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$2x + 50^\circ = 360^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$2x = -50^\circ + 360^\circ \cdot n$

$x = -25^\circ + 180^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -25^\circ + 180^\circ \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $sin(40^\circ + x)sin(x - 50^\circ) = 1$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$sin(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае пусть $\alpha = 40^\circ + x$ и $\beta = x - 50^\circ$.

Подставим эти значения в левую часть уравнения:

$sin(40^\circ + x)sin(x - 50^\circ) = \frac{1}{2}(cos((40^\circ + x) - (x - 50^\circ)) - cos((40^\circ + x) + (x - 50^\circ)))$

Упростим выражения в аргументах косинусов:

$\alpha - \beta = 40^\circ + x - x + 50^\circ = 90^\circ$

$\alpha + \beta = 40^\circ + x + x - 50^\circ = 2x - 10^\circ$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\frac{1}{2}(cos(90^\circ) - cos(2x - 10^\circ)) = 1$

Умножим обе части уравнения на 2:

$cos(90^\circ) - cos(2x - 10^\circ) = 2$

Так как $cos(90^\circ) = 0$, уравнение принимает вид:

$0 - cos(2x - 10^\circ) = 2$

$-cos(2x - 10^\circ) = 2$

$cos(2x - 10^\circ) = -2$

Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$. Так как число $-2$ не принадлежит этому отрезку ($-2 < -1$), данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.