Объясните, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему корни уравнения можно объединить в две формулы $x_1 = \frac{\pi}{7}k, k \in Z$ и $x_2 = \frac{\pi}{2}k, k \in Z$ (рис. 20.3)?

Рис. 20.3

158

Вопрос касается представления множества решений тригонометрического уравнения в виде объединения двух различных формул (серий корней). Такая ситуация обычно возникает, когда исходное уравнение можно разложить на множители или свести к совокупности нескольких более простых уравнений.

Анализ первой серии корней: $x_1 = \frac{\pi}{7}k, k \in \mathbb{Z}$

Эта формула описывает бесконечное множество корней. Чтобы понять, какие точки на единичной окружности им соответствуют, можно подставить различные целые значения $k$. Например, при $k$ от 0 до 13 мы получим 14 различных точек: $0, \frac{\pi}{7}, \frac{2\pi}{7}, ..., \frac{13\pi}{7}$. Эти 14 точек равномерно делят окружность на 14 равных дуг, что и показано на левом графике на рисунке 20.3. Эта серия корней является полным решением, например, для уравнения $\sin(7x) = 0$. Решая его, получаем $7x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{7}k, k \in \mathbb{Z}$.

Анализ второй серии корней: $x_2 = \frac{\pi}{2}k, k \in \mathbb{Z}$

Эта формула описывает другое бесконечное множество корней. На единичной окружности ему соответствуют четыре различные точки, получаемые при $k=0, 1, 2, 3$: $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$. Это точки пересечения окружности с осями координат. Данная серия корней является полным решением, например, для уравнения $\sin(2x) = 0$. Решая его, получаем $2x = \pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{2}k, k \in \mathbb{Z}$.

Принцип объединения корней

Полное множество решений некоторого уравнения может быть представлено объединением нескольких серий корней, если это уравнение можно представить в виде, где произведение нескольких выражений равно нулю. Например, уравнение вида $A(x) \cdot B(x) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений: $A(x) = 0$ или $B(x) = 0$. Общее решение в таком случае будет состоять из всех корней первого уравнения и всех корней второго уравнения.

Исходя из этого, можно предположить, что исходное уравнение, о котором идет речь в задаче, было эквивалентно уравнению $\sin(7x) \cdot \sin(2x) = 0$. Решения этого уравнения находятся из совокупности:

1. $\sin(7x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{7}k, k \in \mathbb{Z}$

2. $\sin(2x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}k, k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, множество всех корней исходного уравнения является объединением множеств, задаваемых двумя данными формулами. Стоит отметить, что эти множества имеют общие точки (например, $x=0$ и $x=\pi$), но раздельная запись в виде двух простых серий часто является более наглядной и удобной, чем одна сложная формула.

Ответ: Корни уравнения можно объединить в две данные формулы, потому что исходное уравнение, вероятно, сводится к совокупности двух более простых уравнений (например, $\sin(7x) = 0$ и $\sin(2x) = 0$), каждое из которых порождает свою серию решений. Общее решение исходного уравнения является объединением решений этих двух простых уравнений.