Номер 20.1, страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20.1. Решите уравнение:

1) $\sin x + \sin 5x - 2\cos 2x = 0;$

2) $\cos 5x + \cos x + 2\cos 3x = 0;$

3) $\sin x - \sqrt{2} \sin 3x = -\sin 5x;$

4) $\cos x - \cos 3x - 2\sin 2x = 0.$

1) $sinx + sin5x - 2cos2x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы синусов: $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Применим эту формулу к первым двум слагаемым уравнения:

$sinx + sin5x = 2sin\frac{x+5x}{2}cos\frac{5x-x}{2} = 2sin3xcos2x$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$2sin3xcos2x - 2cos2x = 0$.

Вынесем общий множитель $2cos2x$ за скобки:

$2cos2x(sin3x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1. $cos2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $sin3x - 1 = 0 \implies sin3x = 1$

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $cos5x + cosx + 2cos3x = 0$

Для решения этого уравнения применим формулу суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Преобразуем сумму $cos5x + cosx$:

$cos5x + cosx = 2cos\frac{5x+x}{2}cos\frac{5x-x}{2} = 2cos3xcos2x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$2cos3xcos2x + 2cos3x = 0$.

Вынесем общий множитель $2cos3x$ за скобки:

$2cos3x(cos2x + 1) = 0$.

Получаем совокупность двух уравнений:

1. $cos3x = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $cos2x + 1 = 0 \implies cos2x = -1$

$2x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $n=1$ в первой серии получаем $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi+2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, что соответствует значению второй серии при $k=0$. В общем виде, если $n = 1+3k$, то $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi (1+3k)}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Таким образом, все решения второго уравнения содержатся в решениях первого. Следовательно, в ответ достаточно записать только первую серию корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $sinx - \sqrt{2} sin3x = -sin5x$

Перенесем слагаемое $-sin5x$ в левую часть уравнения:

$sinx + sin5x - \sqrt{2}sin3x = 0$.

Используем формулу суммы синусов $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ для $sinx + sin5x$:

$sinx + sin5x = 2sin\frac{x+5x}{2}cos\frac{5x-x}{2} = 2sin3xcos2x$.

Подставим результат в уравнение:

$2sin3xcos2x - \sqrt{2}sin3x = 0$.

Вынесем общий множитель $sin3x$ за скобки:

$sin3x(2cos2x - \sqrt{2}) = 0$.

Это уравнение распадается на два:

1. $sin3x = 0$

$3x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2cos2x - \sqrt{2} = 0 \implies cos2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$2x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $cosx - cos3x - 2sin2x = 0$

Для решения применим формулу разности косинусов: $cos\alpha - cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Преобразуем разность $cosx - cos3x$:

$cosx - cos3x = -2sin\frac{x+3x}{2}sin\frac{x-3x}{2} = -2sin2xsin(-x)$.

Так как $sin(-x) = -sinx$, выражение упрощается до $2sin2xsinx$.

Подставим это в исходное уравнение:

$2sin2xsinx - 2sin2x = 0$.

Вынесем общий множитель $2sin2x$ за скобки:

$2sin2x(sinx - 1) = 0$.

Получаем совокупность двух уравнений:

1. $sin2x = 0$

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $sinx - 1 = 0 \implies sinx = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, не является ли вторая серия решений частью первой. Первая серия $x = \frac{\pi n}{2}$ дает значения $...0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, ...$. Вторая серия $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ дает значения $...\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, ...$. Эти значения получаются из первой серии при $n=1, 5, 9, ...$ (то есть при $n=4k+1$). Таким образом, вторая серия является подмножеством первой. Поэтому в ответ записываем только первую, более общую, серию корней.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.