Задания, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вы научитесь решать тригонометрические уравнения с помощью универсальной подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка — это метод, который позволяет свести тригонометрическое уравнение, содержащее $ \sin(x) $ и $ \cos(x) $, к алгебраическому уравнению относительно новой переменной. Этот метод особенно полезен для решения уравнений вида $ a\sin(x) + b\cos(x) = c $.

Суть метода

В основе метода лежит замена $ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) $. С помощью этой замены тригонометрические функции $ \sin(x) $, $ \cos(x) $ и $ \tan(x) $ выражаются через переменную $ t $.

Формулы универсальной подстановки

Основные формулы получаются из формул двойного угла и основного тригонометрического тождества. Если принять $ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) $, то:

1. Синус выражается как: $ \sin(x) = \frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{2t}{1+t^2} $

2. Косинус выражается как: $ \cos(x) = \frac{1 - \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1-t^2}{1+t^2} $

3. Тангенс выражается как: $ \tan(x) = \frac{2\tan\left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{2t}{1-t^2} $

Важное замечание: Данная подстановка имеет ограничение. Функция $ \tan\left(\frac{x}{2}\right) $ не определена, когда ее аргумент $ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, то есть при $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Это означает, что при использовании универсальной подстановки можно потерять корни такого вида. Поэтому перед применением подстановки необходимо всегда проверять, являются ли числа $ x = \pi + 2\pi k $ решениями исходного уравнения.

Алгоритм решения уравнений

1. Проверка "потерянных" корней. Подставить значения $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ в исходное уравнение. Для этих $ x $ имеем $ \sin(x) = 0 $ и $ \cos(x) = -1 $. Если уравнение обращается в верное равенство, то эти значения являются его корнями.

2. Выполнение подстановки. Ввести замену $ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) $ и заменить все тригонометрические функции в уравнении на их выражения через $ t $.

3. Решение алгебраического уравнения. Решить полученное уравнение относительно переменной $ t $.

4. Обратная замена. Для каждого найденного корня $ t_0 $ решить простейшее тригонометрическое уравнение $ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = t_0 $. Решения будут иметь вид $ \frac{x}{2} = \arctan(t_0) + \pi n $, то есть $ x = 2\arctan(t_0) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

5. Формирование ответа. Объединить все корни, найденные на шаге 1 и шаге 4.

Пример решения уравнения

Решим уравнение: $ \sin(x) + 7\cos(x) = 5 $.

1. Проверим, являются ли корнями уравнения значения $ x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Подставляем $ \sin(x) = 0 $ и $ \cos(x) = -1 $ в уравнение: $ 0 + 7 \cdot (-1) = -7 $. Поскольку $ -7 \neq 5 $, то $ x = \pi + 2\pi k $ не являются корнями уравнения.

2. Применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) $. Тогда $ \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2} $ и $ \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} $. Уравнение принимает вид: $ \frac{2t}{1+t^2} + 7\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) = 5 $

3. Решаем полученное алгебраическое уравнение. Умножим обе части на $ 1+t^2 $ (это выражение всегда положительно): $ 2t + 7(1-t^2) = 5(1+t^2) $ $ 2t + 7 - 7t^2 = 5 + 5t^2 $ $ 12t^2 - 2t - 2 = 0 $ $ 6t^2 - t - 1 = 0 $ Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $ $ t_1 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} $ $ t_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $

4. Выполняем обратную замену.

а) $ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{3} $ $ \frac{x}{2} = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $ $ \frac{x}{2} = -\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $ $ x_1 = -2\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

б) $ \tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} $ $ \frac{x}{2} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi m, m \in \mathbb{Z} $ $ x_2 = 2\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $

5. Объединяем результаты. Корней вида $ x = \pi + 2\pi k $ нет.

Ответ: $ x = -2\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = 2\arctan\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.