Номер 19.22, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.22. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

1) $y = 2\sin(x + \pi)$ и прямой $y = -0.5$;

2) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3})$ и прямой $y = \sqrt{3}$.

1) Чтобы найти абсциссы точек пересечения, необходимо приравнять правые части уравнений функций:

$2\sin(x + \pi) = -0,5$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin(x + \pi) = -\frac{0,5}{2}$

$\sin(x + \pi) = -0,25$

Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = x$.

$-\sin(x) = -0,25$

Умножим обе части на -1:

$\sin(x) = 0,25$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, общее решение которого записывается в виде:

$x = (-1)^n \arcsin(0,25) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin(0,25) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Аналогично первому пункту, приравняем правые части уравнений:

$2\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$. В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$x + \frac{\pi}{3} = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Значение арккосинуса равно $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$. Подставим его в уравнение:

$x + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Теперь выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$x = -\frac{\pi}{3} \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Это дает две серии решений. Рассмотрим каждую из них.

Первая серия (со знаком «+»):

$x_1 = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Вторая серия (со знаком «–»):

$x_2 = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.