Номер 19.17, страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.17. Найдите корни уравнения:

1) $\cos \frac{3\pi}{x^2} = 0;$

2) $\sin^2 \frac{\pi x}{2} = \frac{1}{2};$

3) $\sin(2x) \cdot \tan x = 0, \text{ при } 90^\circ < x \le 180^\circ.$

1) Дано уравнение $\cos\frac{3\pi}{x^2} = 0$.

Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, $\frac{3\pi}{x^2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Разделим обе части на $\pi$ (при условии, что $x \ne 0$):

$\frac{3}{x^2} = \frac{1}{2} + n = \frac{1 + 2n}{2}$.

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{6}{1 + 2n}$.

Поскольку $x^2$ должно быть положительным числом ($x^2 > 0$), то и выражение $\frac{6}{1 + 2n}$ должно быть положительным. Так как числитель 6 положителен, знаменатель также должен быть положителен:

$1 + 2n > 0 \implies 2n > -1 \implies n > -\frac{1}{2}$.

Поскольку $n$ — целое число, это условие означает, что $n$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, \ldots$ ($n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$).

Извлекая квадратный корень, находим $x$:

$x = \pm \sqrt{\frac{6}{1 + 2n}}$, где $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{\frac{6}{1 + 2n}}$, где $n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

2) Дано уравнение $\sin^2\frac{\pi x}{2} = \frac{1}{2}$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$\sin\frac{\pi x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями являются углы, для которых синус принимает значения $\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это углы вида $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, аргумент синуса равен:

$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{x}{2} = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}$.

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $\sin(2x) \cdot \operatorname{tg}x = 0$ при условии $90^\circ < x \le 180^\circ$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Функция $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена, когда $\cos x = 0$. Это происходит при $x = 90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Заданный интервал $(90^\circ, 180^\circ]$ не содержит точек, где $\cos x = 0$.

Заменим $\sin(2x)$ по формуле двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ и $\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$2\sin x \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 0$.

С учетом ОДЗ ($\cos x \neq 0$), мы можем сократить $\cos x$ в числителе и знаменателе:

$2\sin^2 x = 0$.

$\sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0$.

Общее решение этого уравнения: $x = 180^\circ k$ (или $x = \pi k$ в радианах), где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни, которые принадлежат заданному промежутку $90^\circ < x \le 180^\circ$. Подставим различные целые значения $k$: при $k=0$ получаем $x = 0^\circ$, что не входит в промежуток; при $k=1$ получаем $x = 180^\circ$, что удовлетворяет условию $90^\circ < 180^\circ \le 180^\circ$; при $k=2$ получаем $x = 360^\circ$, что также не входит в промежуток.

Таким образом, единственным корнем уравнения на заданном промежутке является $x=180^\circ$. Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ: $\cos(180^\circ) = -1 \neq 0$. Условие выполнено.

Ответ: $180^\circ$.