Номер 19.10, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.10. 1) $\sin x + \sin 3x = 0;$

2) $\sin 7x - \sin 3x = 0;$

3) $\cos 3x + \cos x = 0;$

4) $\cos 3x - \cos x = 0.$

1) Исходное уравнение: $sin(x) + sin(3x) = 0$.

Для решения воспользуемся формулой суммы синусов: $sin(\alpha) + sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$.

Запишем уравнение в виде $sin(3x) + sin(x) = 0$ и применим формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$2sin(\frac{3x + x}{2})cos(\frac{3x - x}{2}) = 0$

$2sin(2x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем совокупность двух уравнений:

а) $sin(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:

$2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(x) = 0$

Решение этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сравним полученные серии решений. Серия $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ является подмножеством серии $x = \frac{k\pi}{2}$. Действительно, если в первой серии взять нечетные значения $k$, например $k = 2n+1$, то мы получим $x = \frac{(2n+1)\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$, что совпадает со второй серией. Таким образом, все решения можно объединить в одну серию.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin(7x) - sin(3x) = 0$.

Применим формулу разности синусов: $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha - \beta}{2})cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$.

В данном случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 3x$:

$2sin(\frac{7x - 3x}{2})cos(\frac{7x + 3x}{2}) = 0$

$2sin(2x)cos(5x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $sin(2x) = 0$

$2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(5x) = 0$

$5x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{n\pi}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений представляют собой общее решение уравнения.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$; $x = \frac{\pi}{10} + \frac{n\pi}{5}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $cos(3x) + cos(x) = 0$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$.

Здесь $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$2cos(\frac{3x + x}{2})cos(\frac{3x - x}{2}) = 0$

$2cos(2x)cos(x) = 0$

Получаем совокупность уравнений:

а) $cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $cos(x) = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решения представляют собой объединение этих двух серий.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$; $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos(3x) - cos(x) = 0$.

Применим формулу разности косинусов: $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha + \beta}{2})sin(\frac{\alpha - \beta}{2})$.

Здесь $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:

$-2sin(\frac{3x + x}{2})sin(\frac{3x - x}{2}) = 0$

$-2sin(2x)sin(x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $sin(2x) = 0$

$2x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $sin(x) = 0$

$x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сравним полученные серии решений. Серия $x = n\pi$ является подмножеством серии $x = \frac{k\pi}{2}$. Если в первой серии взять четные значения $k$, например $k = 2n$, то мы получим $x = \frac{2n\pi}{2} = n\pi$, что совпадает со второй серией. Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.